Mathematik verstehen 8, Schulbuch

113 7.1 Di fferenzengleichungen Beispiel 2: Exponentielles Wachsen Es ist P n die Größe einer exponentiell wachsenden Population zum Zeitpunkt n (n in Jahren). Zu Beginn ist die Populations- größe gleich c, pro Jahr wächst sie mit dem konstanten Faktor a > 1. Rekursive Darstellung: P 0 = c und P n + 1 = P n · a für n = 0, 1, 2, … Termdarstellung: P n = c · a n für n * ℕ 7. 02 Für das Wachstum der Population im Beispiel 2 gelte: c = 1 000 und a = 1,2. Berechne P n für n = 0, 1, 2, 3 a) mit Hilfe der rekursiven Darstellung, b) mit Hilfe der Termdarstellung! Lösung: Rekursive Darstellung: Termdarstellung: P 0 = 1 000 P 0 = 1 000 P 1 = P 0 · 1,2 = 1 000 · 1,2 = 1 200 P 1 = 1 000 · 1,2 1 = 1 200 P 2 = P 1 · 1,2 = 1 200 · 1,2 = 1 440 P 2 = 1 000 · 1,2 2 = 1 440 P 3 = P 2 · 1,2 = 1 440 · 1,2 = 1728 P 3 = 1 000 · 1,2 3 = 1728 Beispiel 3: Medikamentengabe Ein Patient erhält jeden Tag, beginnend mit dem Tag 0, zur selben Uhrzeit eine Injektion. Dadurch erhöht sich die Masse des Wirkstoffs in seinem Blut stets um q mg. Von einer Injektion bis zur nächsten werden jedoch jeweils p% der anfänglich im Blut vorhandenen Wirkstoffmasse abge - baut. Mit m n bezeichnen wir die im Blut vorhandene Wirkstoffmasse am Tag n unmittelbar nach der Injektion. Eine rekursive Darstellung für die Wirkstoffmasse m n im Blut sieht so aus: m 0 = q und m n + 1 = 2 1 – p _ 100 3 · m n + q für n = 0, 1, 2, … Eine Termdarstellung ist in diesem Beispiel schwierig zu finden. Wir verzichten hier darauf. 7. 03 Berechne im Beispiel 3 die Wirkstoffmassen m n im Blut für n = 0, 1, 2, 3 mit p = 70 und q = 200! Lösung: m 0 = 200 (mg) m 1 = 0,3 · m 0 + 200 = 0,3 · 200 + 200 = 260 (mg) m 2 = 0,3 · m 1 + 200 = 0,3 · 260 + 200 = 278 (mg) m 3 = 0,3 · m 2 + 200 = 0,3 · 278 + 200 = 283,4 (mg) Allgemein besteht eine rekursive Darstellung einer Folge (x 0 , x 1 , x 2 , …) wie in den Beispielen 1, 2 und 3 aus einer Anfangsbedingung x 0 = m und einer Rekursionsgleichung x n + 1 = f(x n ) . Die Anfangsbedingung legt das erste Glied der Folge fest, mit Hilfe der Rekursionsgleichung kann man zu jedem Glied x n das nächste Glied x n + 1 berechnen. Die Folge (x 0 , x 1 , x 2 , …) bezeichnet man als Lösung dieser Rekursionsgleichung mit der gegebenen Anfangsbedingung . Bemerkung:  Eine Gleichung der Form x n + 1 = f(x n ) heißt Rekursionsgleichung.  Eine Gleichung der Form x n + 1 – x n = f(x n ) heißt Differenzengleichung . Diese beiden Begriffe werden jedoch meist synonym gebraucht, weil man beide Gleichungen ineinander umformen kann: x n + 1 = f(x n ) w x n + 1 – x n = f(x n ) – x n = g(x n ) bzw. x n + 1 – x n = g(x n ) w x n + 1 = g(x n ) + x n = f(x n ) c 1 2 3 4 5 6 n (in Jahren) 0 P n P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 kompakt Seite 118 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv