Mathematik verstehen 8, Schulbuch

112 7 Differenzen- und Differentialgleichungen LERNZ IELE 7.1 Veränderungen von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben können und diese im Kontext deuten können. 7. 2 Veränderungen von Größen durch Differentialgleichungen beschreiben können und diese im Kontext deuten können.  Technologie kompakt  Kompetenzcheck GRUNDKOMPETENZEN Das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kon- text deuten können. Einfache Differentialgleichungen , insbesondere f ’(x) = k · f(x) , lösen können. 7.1 Differenzengleichungen Rekursive Darstellungen Beispiel 1: Lineares Wachsen Es ist P n die Größe einer linear wachsenden Population zum Zeitpunkt n (n in Jahren). Zu Beginn ist die Populationsgrö- ße gleich d, pro Jahr wächst sie um den konstanten Betrag k. P 0 = d und P n + 1 = P n + k für n = 0, 1, 2, … Man bezeichnet diese Darstellung als rekursive Darstellung des linearen Wachstumsprozesses. Ausgehend von der Anfangsbe- dingung P 0 = d kann man mit Hilfe der Rekursionsgleichung P n + 1 = P n + k der Reihe nach die Werte P 1 , P 2 , P 3 , … berechnen. Neben der rekursiven Darstellung kann man auch eine Termdarstellung für P n angeben: P n = k · n + d für n * ℕ 7. 01 Für das Wachstum der Population im Beispiel 1 gelte: d = 1 000 und k = 400. Berechne P n für n = 0, 1, 2, 3 a) mit Hilfe der rekursiven Darstellung, b) mit Hilfe der Termdarstellung! Lösung: Rekursive Darstellung: Termdarstellung: P 0 = 1 000 P 0 = 1 000 + 0 · 400 = 1 000 P 1 = P 0 + 400 = 1 000 + 400 = 1 400 P 1 = 1 000 + 1 · 400 = 1 400 P 2 = P 1 + 400 = 1 400 + 400 = 1 800 P 2 = 1 000 + 2 · 400 = 1 800 P 3 = P 2 + 400 = 1 800 + 400 = 2200 P 3 = 1 000 + 3 · 400 = 2200 AN-R 1 . 4 AN- L 1 . 5 R Ó Lernapplet 76py6v d k k k k 1 2 3 4 n (in Jahren) 0 P n Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv