Mathematik verstehen 8, Schulbuch

11 1 . 2 Unter- und Obersummen, Integral 1 . 2 Unter- und Obersummen, Integral Näherungsweises Berechnen von Flächeninhalten Die Funktion f nehme im Intervall [a; b] nur nichtnegative Werte an. Die in der nebenstehenden Abbildung grün unterlegte Fläche bezeichnen wir kurz als die von f in [a; b] festgelegte Fläche . Deren Inhalt bezeichnen wir mit ​ A​ f ​(a, b) oder kurz mit A(a, b) . Wir kennen keine Formel zur Berechnung eines solchen Flächeninhalts, können diesen aber näherungsweise berechnen, indem wir das Intervall [a; b] in Teilintervalle zerlegen. Über den Teilintervallen errichten wir Rechtecke, die der betrachteten Fläche ein- bzw. umgeschrieben sind. Die Summe der Inhalte der eingeschriebenen (umgeschriebenen) Rechtecke nennen wir kurz eine Untersumme (Obersumme) für A(a, b). Durch die Untersumme (Obersumme) erhalten wir eine untere (obere) Schranke für A(a, b). Untersumme und Obersumme schätzen den Flächeninhalt A(a, b) im Allgemeinen umso genauer ab, in je mehr Teilintervalle [a; b] zerlegt wird. Dies zeigt die folgende Aufgabe: 1 .15 Ermittle näherungsweise den Inhalt der Fläche, die von der Funktion f mit f(x) = ​ 10 _ x + 1 ​im Intervall [0; 4] festgelegt wird! Lösung: 1 . Näherung: Wir fügen in das Intervall [0; 4] keinen Teilungspunkt ein (siehe Abb. 1.1). Untersumme = f(4) · 4 = 2 · 4 = 8 Obersumme = f(0) · 4 = 10 · 4 = 40 Daraus folgt: 8 ª A(0; 4) ª 40 2 . Näherung: Wir teilen das Intervall [0; 4] in vier gleich lange Teilintervalle (siehe Abb. 1.2). Untersumme = f(1) · 1 + f(2) · 1 + f(3) · 1 + f(4) · 1 = 12,83… (Rechne nach!) Obersumme = f(0) · 1 + f(1) · 1 + f(2) · 1 + f(3) · 1 = 20,83… Daraus folgt: 12,83 ª A(0; 4) ª 20,84 3 . Näherung: Wir teilen das Intervall [0; 4] in acht gleich lange Teilintervalle (siehe Abb. 1.3). Untersumme = f(0,5) · 0,5 + f(1) · 0,5 + … + f(3,5) · 0,5 + f(4) · 0,5 = 14,28… Obersumme = f(0) · 0,5 + f(0,5) · 0,5 + … + f(3) · 0,5 + f(3,5) · 0,5 = 18,28… Daraus folgt: 14,28 ª A(0; 4) ª 18,29 Abb. 1.1 Abb. 1.2 Abb. 1.3 R a b f A (a, b) 0 2. A. 1. A. kompakt Seite 22 a b f 0 2. A. 1. A. 1 2 f 4 0 1 f(x) x 1 4 0 1 f f(x) x 1 f 4 x 0 1 f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv