Mathematik verstehen 8, Schulbuch

109 6 . 4 Ergänzende Bemerkungen zu DEn Antei lstests 6 . 4 Ergänzende Bemerkungen zu DEn Anteilstests Die Grundidee eines Anteilstests Diese Grundidee wird hier an einem rechtsseitigen Anteilstest erläutert. Die Behauptung, die man eigentlich untermauern will, ist die Alternativhypothese ​H​ 1 ​. Zu diesem Zweck stellt man die Nullhypothese ​H​ 0 ​probehalber als eine Art „Strohmann“ auf und versucht, diese umzustoßen (sie- he die folgende Abbildung). Dazu erhebt man eine Stichprobe vom Umfang n, ermittelt den Wert k der untersuchten Häufigkeit H und berechnet die Irrtumswahrscheinlichkeit P(H º k). Ist diese höchstens gleich der Signifikanzzahl α , kann der Strohmann umgestoßen, dh. die Nullhypothese verworfen werden. Ist die Irrtumswahrscheinlichkeit jedoch größer als α , kann die Nullhypothese nicht verworfen werden. In diesem Fall kann man über die Gültigkeit der Nullhypothese (bzw. Al- ternativhypothese) nichts aussagen. Der Test war vergebens. Zum besseren Verständnis besprechen wir zwei Analogien zu einem statistischen Test. Analogie 1: Indirekter Beweis Bei einem indirekten Beweis nimmt man das Gegenteil der zu beweisenden Behauptung an und versucht durch logische Folgerungen eine Aussage herzuleiten, die im Widerspruch zu diesem Gegenteil steht (siehe die folgende Abbildung). Gelingt dies, darf das Gegenteil der Behauptung verworfen und somit die Behauptung akzeptiert werden. Gelingt dies nicht, kann man über die Gültigkeit der Behauptung (bzw. ihres Gegenteils) nichts aussagen. Der Beweisversuch war vergebens. Bei einem statistischen Test geht man analog vor (siehe die folgende Abbildung). Man nimmt das Gegenteil der Alternativhypothese ​H​ 1 ​, also die Nullhypothese ​H​ 0 ​, an und versucht durch eine Stichprobe zu zeigen, dass ein „stochastischer Widerspruch“ eintritt, dh. dass ein sehr unwahr- scheinliches Stichprobenergebnis eingetreten ist, wenn ​H​ 0 ​tatsächlich gilt. Gelingt dies, darf ​H​ 0 ​ verworfen werden (und damit ​H​ 1 ​akzeptiert werden). Gelingt dies nicht, kann man über die Gül- tigkeit von ​H​ 0 ​(bzw. ​H​ 1 ​) nichts aussagen. Der Test war vergebens. Im Gegensatz zu einem indirek- ten Beweis liefert diese Vorgangsweise nicht mit hundertprozentiger Sicherheit die richtige Ent- scheidung, die Wahrscheinlichkeit eines Irrtums ist aber sehr klein. L Stichprobe von Umgang n Stichprobenergebnis h = k P(h º k) ª α P(h º k) > α ? h 0 h 0 Logische Folgerungen kein Widerspruch Gegenteil der Behauptung Gegenteil der Behauptung wird verworfen Aussage Widerspruch ? Stichprobe Nullhypothese h 0 Stichproben- ergebnis ? nicht sehr unwahrscheinlich h 0 wird verworfen sehr unwahrscheinlich Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv