Mathematik verstehen 8, Schulbuch

108 6 Testen von Antei len 6 . 26 Eine Kaffeeabfüllmaschine füllt erfahrungsgemäß 4% aller Packungen schlecht ab. Durch eine Stichprobe vom Umfang 600 soll überprüft werden, ob sich dieser relative Anteil ge- ändert hat. Bei welchen Stichprobenergebnissen kann die Nullhypothese, dass sich der relative Anteil der schlecht befüllten Packungen geändert hat, mit der maximalen Irrtumswahrscheinlich- keit 0,05 verworfen werden? Lösung: Wenn die Nullhypothese H 0 gilt, ist die Häufigkeit H der schlecht abgefüllten Packungen in Stichproben vom Umfang 600 binomialverteilt mit n = 600 und p = 0,04. Wegen n · p · (1 – p) = 600 · 0,04 · 0,96 = 23,04 > 9 können wir diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit folgenden Parametern ersetzen: μ = n · p = 600 · 0,04 = 2, σ = 9 _______ n · p · (1 – p)= 9 _________ 600 · 0,04 · 0,96= 4,8 Wir bestimmen nun zwei symmetrisch bezüglich μ liegende Werte k 1 und k 2 , sodass gilt: P(H ª k 1 ) = 0,025 und P(H º k 2 ) = 0,025 Mit Technologieeinsatz bzw. der Tabelle auf Seite 251 erhalten wir k 1 ≈ 14,592 und k 2 ≈ 33,408. Die Nullhypothese kann also mit der maximal zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verworfen werden, wenn man in der Stichprobe höchstens 14 oder mindestens 34 schlecht abgefüllte Packungen vorfindet. Aufgaben 6 . 27 Bei einer Serienproduktion von Leuchtdioden wird erfahrungsgemäß 5% Ausschuss produziert. Durch eine Stichprobe vom Umfang 450 soll überprüft werden, ob sich dieser Anteil geändert hat. Bei welchen Stichprobenergebnissen kann die Annahme, dass sich der Ausschussanteil nicht geändert hat, mit der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verworfen werden? 6 . 28 Das Schmerzmittel DolorEx wirkt bei ca. 90% aller Anwendungen. Anhand einer Stichprobe vom Umfang 500 soll überprüft werden, ob das Generikum SimDolorEx (Nachbildung mit gleichen Wirkstoffen) eine andere Wirkung wie DolorEx hat. Bei welchen Stichprobenergebnissen kann man mit der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 die Annahme verwerfen, dass das Generikum die gleiche Wirkung wie das Original hat? 6 . 29 CityTram ist bisher von der Annahme ausgegangen, dass ca. 10% der Passagiere ohne Fahrschein unterwegs sind. Bei einer Kontrolle soll durch zufällige Auswahl von 500 Fahrgästen überprüft werden, ob sich der Prozentsatz der „Schwarzfahrer“ geändert hat. Bei welchen Stichprobenergebnissen kann die Annahme, dass sich nichts geän- dert hat, mit der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verwor- fen werden? H 0 : p = 0,04 H 1 : p ≠ 0,04 (Maschine hat sich nicht verändert) (Maschine hat sich verändert) μ h 0 kann nicht verworfen werden h 0 kann verworfen werden h 0 kann verworfen werden k 2 k 1 0,025 0,025 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv