Mathematik verstehen 8, Schulbuch

106 6 Testen von Antei len 6 . 3 Kritische Werte Kritische Werte bei einem einseitigen Anteilstest Definition Der zur Signifikanzzahl α gehörige kritische Wert ist bei einem rechtsseitigen Anteilstest die Zahl k 0 mit P(H º k 0 ) = α , bei einem linksseitigen Anteilstest die Zahl k 0 mit P(H ª k 0 ) = α . Arbeitet man mit einer Binomialverteilung für H, lässt sich die Bedingung P(H º k 0 ) = α bzw. P(H ª k 0 ) = α nicht genau realisieren, weil ein binomialverteiltes H nur ganzzahlige Werte anneh- men kann. Bei Technologieeinsatz wird k 0 oft automatisch auf Ganze gerundet. Daher ermitteln wir im Folgenden kritische Werte im Allgemeinen mit Hilfe der approximierenden Normalvertei- lung (siehe die folgenden beiden Abbildungen). 6 . 20 Durch einen Chemieunfall ist Gift in einen Teich gelangt. Ein Vertreter der chemischen Industrie behauptet, dass durch den Unfall nur 20% der Fische in diesem Teich vergiftet wurden. Ein Umweltschützer vermutet, dass dieser Anteil höher ist. Wie viele vergiftete Fische muss der Umweltschützer in einer Stichprobe vom Umfang 100 mindestens vorfinden, um die Behauptung des Industrievertreters mit der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verwerfen zu können? Lösung: Wenn die Nullhypothese H 0 gilt, ist die Häufigkeit H der vergifteten Fische in Stichproben vom Umfang 100 binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,2. Wegen n · p · (1 – p) = 100 · 0,2 · 0,8 = 16 > 9 können wir diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit folgenden Parametern ersetzen: μ = n · p = 100 · 0,2 = 20, σ = 9 _______ n · p · (1 – p)= 9 _______ 100 · 0,2 · 0,8= 4 Wir ermitteln nun k 0 so, dass P(H º k 0 ) = 0,05 ist. Mit Technologieeinsatz bzw. der Tabelle auf Seite 251 erhalten wir: k 0 ≈ 26,58. Der Umweltschützer muss also mindestens 27 vergiftete Fische vorfinden, um die Behaup- tung des Industrievertreters mit der maximal zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verwerfen zu können. L k k 0 α h 0 kann nicht verworfen werden h 0 kann verworfen werden P(h º k) k k 0 α h 0 kann nicht verworfen werden h 0 kann verworfen werden P(h ª k) H 0 : p = 0,2 H 1 : p > 0,2 (Behauptung des Industrieverterters) (Vermutung des Umweltschützers) μ k 0 h 0 kann nicht verworfen werden h 0 kann ver- worfen werden 0,05 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv