Mathematik verstehen 8, Schulbuch

103 6 . 2 Zweisei t ige Antei lstests 6 . 2 Zweiseitige Anteilstests Aufteilung der Irrtumswahrscheinlichkeit 6 .11 Aus Studien ist bekannt, dass der Cholesterin-Senker SimulStatin bei etwa 40% der Patienten wirkt. Nach einem geringfügigen chemischen Umbau des Wirkstoffs soll getestet werden, ob sich die Wirkung des Medikaments verändert hat. Es liegt allerdings keine Vermutung vor, ob die Wir- kung zu- oder abgenommen hat. Teste mit der Signifikanz 0,05, ob sich die Wirkung von Simul- Statin verändert hat, wenn folgendes Ergebnis vorliegt: 1) In einer Stichprobe von 20 Patienten hat das Medikament bei 12 Patienten gewirkt. 2) In einer Stichprobe von 2000 Patienten hat das Medikament bei 844 Patienten gewirkt. Lösung: Es sei p der unbekannte relative Anteil aller Patienten, bei denen SimuStatin wirkt. Wir schreiben eine Nullhypothese und eine Alternativhypothese an: ​H​ 0 ​: p = 0,4 ​H​ 1 ​: p ≠ 0,4 (Wirkung ist gleich geblieben) (Wirkung hat sich verändert) 1) Es sei H die Anzahl der Patienten in Stichproben vom Umfang 20, bei denen SimulStatin wirkt. Wenn die Nullhypothese ​H​ 0 ​gilt, ist H binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,4. Wir werden die Nullhypothese ​H​ 0 ​verwerfen, wenn entweder H ª 12 oder H º 12 ein „sehr unwahrscheinliches“ Ereignis ist. Es liegt nahe, die maximal zugelassene Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 je zur Hälfte auf die beiden Enden der Wahr- scheinlichkeitsverteilung von H aufzu- teilen und die Nullhypothese genau dann zu verwerfen, wenn eine der bei- den Wahrscheinlichkeiten P(H ª 12) und P(H º 12) höchstens gleich 0,025 ist. Mit Technologieeinsatz oder der Tabelle auf Seite 250 erhalten wir: P(H ª 12) ≈ 0,979 und P(H º 12) ≈ 0,057 Da beide Wahrscheinlichkeiten größer als 0,025 sind, können wir die Nullhypothese mit der maximal zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 nicht verwerfen. Man kann somit nicht behaupten, dass sich die Wirkung von SimulStatin verändert hat. 2) Da die Stichprobe groß ist, lösen wir die Aufgabe mit der Normalverteilung. Es sei H die abso- lute Häufigkeit der Patienten in Stichproben vom Umfang 2000, bei denen SimulStatin wirkt. Wenn die Nullhypothese ​H​ 0 ​gilt, ist H binomialverteilt mit n = 2000 und p = 0,4. Da n · p · (1 – p) = 2000 · 0,4 · 0,6 = 480 > 9 ist, kann diese Binomialverteilung näherungs­ weise durch eine Normalverteilung mit folgenden Parametern ersetzt werden: μ = n · p = 2000 · 0,4 = 800 und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​= ​ 9 ________ 2000 · 0,4 · 0,6​≈ 21,91. Mit Technologieeinsatz oder der Tabelle auf Seite 251 erhalten wir: P(H ª 844) ≈ 0,9777 und P(H º 844) ≈ 0,0223 Da die zweite Wahrscheinlichkeit kleiner als 0,025 ist, können wir die Nullhypothese mit der maximal zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verwerfen. Man kann somit behaupten, dass sich die Wirkung von SimulStatin verändert hat. L a i P(h = a) 12 0,1 0,2 0 P (h º 12) P (h ª 12) P (h º 844) 800 0,025 0,025 844 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv