Mathematik verstehen 8, Schulbuch

100 6 Testen von Antei len Vorgehen bei einem einseitigen Anteilstest 1. Schreibe eine Nullhpothese H 0 und eine Alternativhypothese H 1 in folgender Form an: H 0 : p = p 0 H 1 : p > p 0 [bzw. p < p 0 ] 2. Lege eine Signifikanzzahl α fest! 3. Erhebe eine Stichprobe vom Umfang n und bestimme den Wert k der untersuchten Häufigkeit H! 4. Nimm an, dass die Nullhypothese gilt, und berechne unter dieser Annahme die Irrtumswahr- scheinlichkeit P(H º k) [bzw. P(H ª k)]! 5. Ist diese Irrtumswahrscheinlichkeit kleiner oder gleich α , kann die Nullhypothese verworfen werden. Es ist wichtig, dass die Signifikanzzahl α aufgrund sachlicher Überlegungen vor der Erhebung der Stichprobe oder zumindest unabhängig vom Vorliegen einer Stichprobe festgelegt wird. Denn sonst könnte manipuliert werden. Man könnte ja hinterher α so groß wählen, dass die ermittelte Irrtumswahrscheinlichkeit kleiner als α ist. Auf diese Weise könnte man jede Nullhypothese verwerfen. Das wäre aber sinnlos. 6 . 02 Die Stadtverwaltung behauptet, dass die Geschwindigkeitsbeschränkung (30km/h) in der Dom- straße von einem Viertel der durchfahrenden Autos nicht beachtet wird. Eine Journalistin hält dies für übertrieben, weil in einer Stichprobe von 300 durch die Domstraße fahrenden Autos nur 70 zu schnell fuhren (also weniger als ein Viertel). Kann sie die Behauptung der Stadtverwaltung mit der maximal zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verwerfen? Lösung: Es sei p der relative Anteil der Autos, die in der Domstraße zu schnell fahren. Wir führen einen linksseitigen Anteilstest mit der Signifikanz 0,05 durch. 1. Nullhypothese H 0 : p = 0,25 Alternativhypothese H 1 : p < 0,25 (Behauptung der Stadtverwaltung) (Vermutung der Journalistin) 2. α = 0,05 3. k = 70 4. Falls die Nullhypothese H 0 gilt, ist die absolute Häufigkeit H der in der Domstraße zu schnell fahrenden Autos binomialverteilt mit n = 300 und p = 0,25. Mit Technologieeinsatz erhalten wir die Irrtumswahrscheinlichkeit P(H ª 70) ≈ 0,2767. 5. Wegen P(H ª 70) > 0,05 kann die Nullhypothese (Behauptung der Stadtverwaltung) mit der maximal zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 nicht verworfen werden. In der folgenden Abbildung ist ein rechtsseitiger Test mit binomialverteiltem H veranschaulicht. Die Summe der blauen Stablängen entspricht der Irrtumswahrscheinlichkeit P(H º k). Ist P(H º k) ª α , kann H 0 verworfen werden. Ist P(H º k) > α , kann H 0 nicht verworfen werden. a i P(h = a) k 0,1 0,2 0 P (h º k) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv