99 5 .1 Die ell ipse Man erhält vier Schnittpunkte X, X’, Y, Y’. Für jeden dieser Schnittpunkte ist die Summe der Abstände von F und F’ gleich d + (2a – d) = 2a. Diese vier Punkte liegen also auf der Ellipse. Konstruiere für andere Lagen des Teilungspunktes T analog weitere Ellipsenpunkte! Bezeichnungen bei einer ellipse Wir bezeichnen den Mittelpunkt der Strecke FF’ mit M und setzen _ MF= _ MF’= e. Die Punkte auf der Geraden FF’, die von M den Abstand a haben, bezeichnen wir mit A und A’. Die Punkte auf der Normalen zu FF’ durch M, die sowohl von F als auch von F’ den Abstand a haben, bezeichnen wir mit B und B’. Die Punkte A und A’ liegen auf der Ellipse, denn es gilt: _ FA+ _ F’A= (a – e) + (a + e) = 2a und _ FA’+ _ F’A’= (e + a) + (a – e) = 2a Die Punkte B und B’ liegen ebenfalls auf der Ellipse, denn es gilt: _ FB+ _ F’B= a + a = 2a und _ FB’+ _ F’B’= a + a = 2a. Folgende Namen sind üblich: F und F’ …… Brennpunkte strecke aa’ …… hauptachse M …… Mittelpunkt strecke BB’ …… Nebenachse a und a’ …… hauptscheitel _ aa’= 2a …… hauptachsenlänge B und B’ …… Nebenscheitel _ BB’= 2b …… Nebenachsenlänge _ Ma= _ Ma’= a und _ MB= _ MB’= b …… halbachsenlängen _ MF= _ MF’= e …… Brennweite oder lineare exzentrizität Aus der Abbildung erkennt man: satz: Für eine ellipse mit den halbachsenlängen a und b und der Brennweite e gilt: e 2= a 2– b 2 Beachte: Aus b 2= a 2– e 2ergibt sich, dass für eine Ellipse stets b ª a gilt. aufgaben 5 . 01 Zeichne eine Ellipse mit a) a = 6 cm, b = 4 cm, b) a = 10 cm, e = 8 cm, c) b = 4 cm, e = 4 cm! 5 . 02 Zeichne eine Ellipse mit den Brennpunkten F und F’ und dem Punkt P! a) F = (3 1 0), F’ = – F, P = (2 1 2) b) F = (2 1 0), F’ = – F, P = (5 1 3) 5 . 03 Das 1. Keplersche Gesetz lautet: „Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, wobei die Sonne in einem Brennpunkt steht.“ Im Folgenden sind für jeden Planeten die halbachsenlänge a und die sogenannte numerische Exzentrizität ε = e _ aangegeben. Entfernungen werden in astronomischen Einheiten (AE) gemessen: 1 AE = Länge der großen Halbachse der Erdumlaufbahn ≈ 149597871 km. Berechne für jeden Planeten die halbachsenlänge b (in Kilometer) sowie die größte und kleinste Entfernung des Planeten von der Sonne (in Kilometer)! a) Merkur: a = 0,387 AE, ε = 0,206 e) Jupiter: a = 5,20 AE, ε = 0,048 b) Venus: a = 0,72 AE, ε = 0,0068 f) Saturn: a = 9,54 AE, ε = 0,056 c) Erde: a = 1 AE, ε = 0,017 g) Uranus: a = 19,18 AE, ε = 0,047 d) Mars: a = 1,52 AE, ε = 0,093 h) Neptun: a = 29,80 AE, ε = 0,0086 L a A' F' M e e a a a a a b F A B' B L kompakt seite 115 Sonne anderer Brennpunkt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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