93 4 . 3 Die KUgel 4 . 3 Die KUgel gleichung einer Kugel Definition Eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r ist die Menge aller Punkte des Raumes, die von M den Abstand r haben. Anhand der nebenstehenden Abbildung erkennt man, dass ein Punkt X genau dann auf der Kugel K liegt, wenn gilt: _ MX= r bzw. †X – M† = r (X – M) 2= r 2 Für X = (x 1 y 1 z) und M = (m 1 1 m 2 1 m 3) lautet diese Gleichung: (x – m 1) 2+ (y – m 2) 2+ (z – m 3) 2= r 2 Wir haben somit bewiesen: satz Ist K eine Kugel mit dem Mittelpunkt M = (m 1 1 m 2 1 m 3) * ℝ 3 und dem Radius r, dann gilt: X * K É (X – M) 2= r 2 bzw. (x 1 y 1 z) * K É ( x – m 1) 2+ (y – m 2) 2+ (z – m 3) 2= r 2 Die Kugel K kann als Punktmenge dargestellt werden: K = {X * ℝ 3 ‡ (X – M) 2= r 2} bzw. K = {(x 1 y 1 z) * ℝ 3 ‡( x – m 1) 2+ (y – m 2) 2+ (z – m 3) 2= r 2} Wir nennen diese Punktmenge eine Kugel in ℝ 3. Die Gleichung (X – M) 2= r 2 bzw. (x – m 1) 2+ (y – m 2) 2+ (z – m 3) 2= r 2 nennt man eine gleichung der Kugel K. Für M = O = (0 1 0 1 0) lautet diese Gleichung: X 2= r 2 bzw. x 2+ y 2+ z 2= r 2 Wir halten fest: gleichung einer Kugel mit dem Mittelpunkt M = (m 1 1 m 2 1 m 3) und dem Radius r: (X – M) 2= r 2 bzw. (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 + (z – m 3) 2= r 2 gleichung einer Kugel mit dem Mittelpunkt O = (0 1 0 1 0) und dem Radius r: X 2= r 2 bzw. x 2+ y 2+ z 2= r 2 Mit technologieeinsatz können Gleichungen von Kugeln ermittelt werden und Kugeln in der 3DGrafik gezeichnet werden. aUFgaBeN 4 . 41 Welche der folgenden Punkte liegen auf der Kugel K: (x – 1) 2+ (y – 4) 2+ (z + 2) 2= 161 ? Kreuze an! (5 1 12 1 7) (11 1 9 1 4) (12 1 11 1 –1) (3 1 – 2 1 9) (9 1 – 3 1 5) 4 . 42 Gib eine Gleichung der Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r an! a) M = (3 1 0 1 – 2), r = 3 c) M = (4 1 –1 1 – 2), r = 6 e) M = (0 1 0 I0), r = 9 _ 3 b) M = (– 2 1 0 1 – 2), r = 2 d) M = (– 3 1 2 1 –7), r = 5 f) M = (0,5 1 – 0,5 1 – 2), r = 9 _ 3 L M m1 r X m2 m3 z y x kompakt seite 95 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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