90 4 Kreis UNd KUgel tangente in einem Punkt eines Kreises Definition Eine Gerade, die mit einem Kreis genau einen Punkt T gemeinsam hat, bezeichnet man als tangente an den Kreis im Punkt T. satz Die tangente in einem Punkt T eines Kreises mit dem Mittelpunkt M steht normal auf den Radius Mt. BeWeis : Wie wir im Satz auf Seite 88 gezeigt haben, führt der Schnitt eines Kreises k mit einer Geraden g: X = P + t · _ À gauf die quadratische Gleichung: _ À g 2· t 2+ 2 · ( _ À g· _ À MP) · t + _ À MP 2– r 2= 0 Wenn nun g die Tangente an den Kreis k im Punkt T des Kreises ist, dann kann T als fester Punkt P von g verwendet werden und gleichzeitig gilt _ À MT 2= r 2. Somit gilt: _ À g 2· t 2+ 2 · ( _ À g· _ À MT) · t + 0 = 0 Da k und g genau einen Punkt gemeinsam haben, muss die Diskriminante D dieser Gleichung null sein: D = [2 · ( _ À g· _ À MT) ] 2– 4 · _ À g 2· 0 = [2 · ( _ À g· _ À MT) ] 2= 0 Daraus folgt _ À g· _ À MT= 0 und das bedeutet _ À g© _ À MT. Also steht g normal auf MT. 4 . 27 Gib eine Gleichung der Tangente im Punkt T des Kreises k an! T = (6 1 t 2> 0), k: (x – 2) 2+ (y – 1) 2= 25 lösUNg: Setzt man in der Kreisgleichung x = 6, so ergibt sich y = 4. Also ist T = (6 1 4). Ein Normalvektor der gesuchten Tangente ist _ À MT= T – M = (6 1 4) – (2 1 1) = (4 1 3). Gleichung der Tangente: 4x + 3y = 36 Eine andere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, bietet der folgende Satz: satz (spaltform der tangentengleichung) Eine gleichung der tangente in einem Punkt T = (x T 1 y T) des Kreises k: (x – m 1) 2+ (y – m 2) 2= r 2lautet: (x t– m 1) · (x – m 1) + (y t– m 2) · (y – m 2) = r 2 BeWeis : Für alle Punkte X = (x 1 y) auf der Tangente im Punkt T des Kreises k gilt: _ À MT· _ À TX= 0 (T – M) · (X – T) = 0 (T – M) · (X – T) + r 2= r 2 (T – M) · (X – T) + _ À MT 2= r 2 (T – M) · (X – T) + (T – M) 2= r 2 (T – M) · [(X – T) + (T – M)] = r 2 (T – M) · (X – M) = r 2 (x T– m 1) · (x – m 1) + (y T– m 2) · (y – m 2) = r 2 Merke Man erhält die Spaltform der Tangentengleichung, indem man die Quadrate der Klammern in der Kreisgleichung folgendermaßen „aufspaltet“: k: (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 = r 2 t: (x T– m 1) · (x – m 1) + (y T– m 2) · (y – m 2) = r 2 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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