76 3 Untersuchen von Polynomfunkt ionen aufgaben aufgaben mit dem pythagoräischen lehrsatz 3 .113 Die Tragfähigkeit T eines quaderförmigen Balkens ist direkt proportional zur Breite b und zum Quadrat der Höhe h, also T = c · b · h 2, wobei c eine positive Konstante ist, die vom Material abhängt. Ein Balken soll aus einem zylindrischen Stamm vom Durchmesser d = 48 cm geschnitten werden. Wie groß müssen Breite und Höhe des Balkens gewählt werden, damit dessen Tragfähigkeit möglichst groß wird? 3 .114 Einer Kugel vom Radius R ist ein Drehzylinder von größtem Volumen einzuschreiben (nebenstehend ist ein Achsenschnitt gezeichnet). In welchem Verhältnis stehen die Volumina der beiden Körper zueinander? 3 .115 Welcher von allen Drehkegeln mit der Erzeugendenlänge s hat das größte Volumen? Ermittle den Radius und die Höhe dieses Kegels! 3 .116 Einer Halbkugel mit dem Radius R soll ein auf der Spitze stehender Drehkegel wie in nebenstehender Abbildung eingeschrieben werden. Wie sind seine Abmessungen zu wählen, damit sein Volumen möglichst groß wird? 3 .117 Aus zwei Brettern der Breite a soll eine Rinne mit möglichst großer dreieckiger Querschnittsfläche hergestellt werden. Wie groß ist der Inhalt der Querschnittsfläche? aufgaben mit dem strahlensatz (bzw. ähnlichen Dreiecken) 3 .118 Einem gleichschenkeligen Dreieck mit der Basislänge c und der Höhe h soll ein Rechteck eingeschrieben werden, dessen eine Seite auf der Basis des Dreiecks liegt. Wie müssen die Seitenlängen des Rechtecks gewählt werden, damit dessen Flächeninhalt maximal wird? lösung: A(x, y) = x · y Nebenbedingung: x: c = (h – y) : h xh = ch – cy y = h _ c· (c – x) A(x) = x · h _ c· (c – x) (0 ª x ª c) _ A(x) = x · (c – x) (0 ª x ª c) Setze selbst fort. Es ergibt sich: Das Rechteck mit den Seitenlängen x = c _ 2 und y = h _ 2hat den größten Flächeninhalt. 3 .119 Einem gleichschenkeligen Dreieck mit der Grundlinienlänge a und der Höhe h wird ein gleichschenkeliges Dreieck eingeschrieben, dessen Spitze in der Mitte der Grundlinie liegt. Wie groß ist seine Höhe zu wählen, damit sein Flächeninhalt maximal wird? L 48 b h M r R h R r c a h a x A' B' C = C' A B c h y h – y h a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Ve lags öbv
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