7 1 .1 algeBraische GleichUNgeN algebraische Gleichungen vom Grad n Definition (1) Ein Ausdruck der Form a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1x + a 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * ℝ und an ≠ 0) heißt Polynom vom Grad n. (2) E ine Gleichung der Form a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1x + a 0= 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * ℝ und an ≠ 0) heißt (algebraische) Gleichung vom Grad n. Für algebraische Gleichungen vom Grad 2 kennen wir Lösungsformeln, für algebraische Gleichungen mit höherem Grad jedoch nicht. Im Folgenden besprechen wir einige Methoden, die zum Lösen solcher Gleichungen nützlich sein können. Lösen von Gleichungen durch anwenden binomischer Formeln Wir wiederholen zunächst die binomischen Formeln: (1) (a + b) 2= a 2+ 2ab + b 2 (2) (a – b) 2= a 2– 2ab + b 2 (3) (a + b) · (a – b) = a 2– b 2 1 . 03 Löse die Gleichung a) x 2+ 8x + 16 = 0, b) x 2– 6x + 9 = 0, c) x 4– 81 = 0 in ℝ! LösUNg: a) Nach der Formel (1) lässt sich die Gleichung so anschreiben: (x + 4) 2= 0 Diese Gleichung hat nur die reelle Lösung –4. Die Lösungsmenge lautet: L = {–4}. b) Nach der Formel (2) lässt sich die Gleichung so anschreiben: (x – 3) 2= 0 Diese Gleichung hat nur die reelle Lösung 3. Die Lösungsmenge lautet: L = {3}. c) Nach der Formel (3) lässt sich die Gleichung so anschreiben: (x 2+ 9)(x 2– 9) = 0 Nach dem Produkt-Null-Satz folgt: x 2+ 9 = 0 = x 2– 9 = 0 Die erste dieser beiden Gleichungen hat keine reelle Lösung, die zweite hat die reellen Lösungen 3 und –3. Die Lösungsmenge lautet: L = {–3, 3}. aUfgaBeN 1 . 04 Löse die Gleichung in ℝ mit Hilfe einer binomischen Formel! a) x 4– 625 = 0 b) x 4= 81 c) x 2– 2x + 1 = 0 d) x 2+ 12x + 36 = 0 Lösen von Gleichungen durch Herausheben 1 . 05 Löse die Gleichung a) x 3 – 4x 2– 5x = 0, b) x 2(x 2– 2x + 1) = 2 (x 2– 2x + 1) in ℝ! LösUNg: a) x 3 – 4x 2– 5x = 0 b) x 2(x 2– 2x + 1) – 2 (x 2– 2x + 1) = 0 Wir heben x heraus: Wir heben (x 2– 2x + 1) heraus: x · (x 2– 4x – 5) = 0 (x 2– 2) (x 2– 2x + 1) = 0 Nach dem Produkt-Null-Satz gilt: Nach dem Produkt-Null-Satz gilt: x = 0 = x 2– 4x – 5 = 0 x 2– 2 = 0 = x 2– 2x + 1 = 0 x = 0 = x = –1 = x = 5 x = 9_ 2 = x = – 9_ 2 = x = 1 L = {–1, 0, 5} L = {– 9_ 2, 1, 9_ 2} R R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv
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