60 3 Untersuchen von Polynomfunkt ionen verhalten für x gegen ± • Definition Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion. Man schreibt lim x ¥• f(x) = q, wenn sich f(x) mit unbegrenzt wachsendem x unbegrenzt der Zahl q nähert, lim x ¥• f(x) = •, wenn f(x) mit unbegrenzt wachsendem x jede noch so große Schranke überschreitet, lim x ¥• f(x) = – •, wenn f(x) mit unbegrenzt wachsendem x jede noch so kleine Schranke unterschreitet. Analoge Definitionen gelten für lim x ¥ – • f(x) = q, lim x ¥ – • f(x) = • und lim x ¥ – • f(x) = – •. 3 . 43 Sei f eine Polynomfunktion der Form f(x) = ax3 + bx2 + cx + d mit a ≠ 0. Begründe: (1) Für a > 0 gilt: lim x ¥• f(x) = • und lim x ¥ – • f(x) = – • (2) Für a < 0 gilt: lim x ¥• f(x) = – • und lim x ¥ – • f(x) = • lösung: (1) ax3 + bx2 + cx + d = x3 2 a + b _ x + c _ x 2 + d _ x 3 3. Wenn x unbegrenzt wächst, nähert sich der Klammerausdruck unbegrenzt der Zahl a > 0 und x3 überschreitet jede noch so große Schranke. Somit überschreitet auch f(x) jede noch so große Schranke. (2) Führe den Beweis selbst! aufgaben 3 . 44 Sei f eine Polynomfunktion der Form f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e mit a ≠ 0. Begründe: (1) Für a > 0 gilt: lim x ¥ • f(x) = lim x ¥ – • f(x) = • (2) Für a < 0 gilt: lim x ¥• f(x) = lim x ¥ – • f(x) = – • 3 . 45 Ermittle die Nullstellen von f und untersuche das Verhalten von f für x ¥ – • und x ¥ •! a) f(x) = x3 + x2 – 6x b) f(x) = – x3 – 2x2 – 3x c) f(x) = – x4 + x3 + 12x2 typische Formen der graphen von Polynomfunktionen 3 . 46 Beweise: (1) Eine Polynomfunktion vom Grad n º 1 hat höchstens n – 1 lokale Extremstellen. (2) Eine Polynomfunktion vom Grad n º 2 hat höchstens n – 2 Wendestellen. lösung: f(x) = an x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a0 (an ≠ 0) f’(x) = nan x n – 1 + (n – 1)a n – 1 x n – 2 + … + 2a 2 x + a1 f’’(x) = n(n – 1)an x n – 2 + (n – 1)(n – 2)a n – 1 x n – 3 + … + 2a 2 Da f’ vom Grad n – 1 und f’’ vom Grad n – 2 ist, hat f’ höchstens n – 1 und f’’ höchstens n – 2 Nullstellen. Somit hat f höchstens n – 1 lokale Extremstellen und höchstens n – 2 Wendestellen. Die Ergebnisse der letzten Aufgabe und die vorangegangenen Überlegungen zur Symmetrie lassen einige Aussagen über typische Formen der Graphen von Polynomfunktionen zu. R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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