59 3 . 5 eigenschaften von Polynomfunkt ionen 3 . 5 eigenschaften von Polynomfunktionen symmetrie 3 . 38 Zeige und überprüfe am Graphen! a) Der Graph der Funktion f mit f(x) = 1 _ 2x 4 + x2 ist symmetrisch bezüglich der 2. Achse. b) Der Graph der Funktion f mit f(x) = x3 – 3x ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs. lösung: a) f(– x) = 1 _ 2(– x) 4 + (– x)2 = 1 _ 2x 4 + x2 = f(x) b) f(– x) = (– x)3 – 3(– x) = – x3 + 3x = – f(x) Wir erinnern uns (vgl. Mathematik verstehen 6, Seite 50): Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ ℝ heißt gerade, wenn für alle x * A gilt: f(– x) = f(x) ungerade, wenn für alle x * A gilt: f(– x) = – f(x) Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch bezüglich der 2. Achse, der Graph einer ungeraden Funktion symmetrisch bezüglich des Ursprungs. aufgaben 3 . 39 Eine Funktion f kann gerade oder ungerade oder keines von beidem sein. Kreuze jene Funktionsgleichungen an, für die f gerade oder ungerade ist! f(x) = x 3 f(x) = x 2– x f(x) = x 3– x 2 f(x) = – x 3 f(x) = – x 2+ 1 3 . 40 Begründe: Treten bei einer Polynomfunktion f im Funktionsterm f(x) nur Potenzen von x mit gerader Hochzahl auf, dann ist der Graph von f symmetrisch bezüglich der zweiten Achse. 3 . 41 Zeige: Eine Polynomfunktion f vom Grad 3, deren Graph symmetrisch bezüglich des Ursprungs ist, muss von der Form f(x) = ax 3 + cx mit a ≠ 0 sein. Beachte : Der Ursprung ist ein Wendepunkt. 3 . 42 Der Graph einer Polynomfunktion sei symmetrisch a) bezüglich der Geraden x = p, b) bezüglich des Punktes (p 1 f(p)). Was lässt sich dann über den Punkt (p 1 f(p)) aussagen? R Ó applet 4ma99k 0 1 –2 –1 2 f(x) 1 2 3 4 x f 0 1 –2 –1 2 f(x) 2 x f –1 –2 1 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv
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