55 3 . 4 Funkt ionsverlauf und höhere ablei tungen hinreichende Bedingung für lokale extremstellen mit der 2. ableitung Wir wissen bereits: Für das Vorliegen einer lokalen Extremstelle p einer Polynomfunktion f ist die Bedingung f’(p) = 0 zwar notwendig, aber nicht hinreichend. Man erhält jedoch eine hinreichende Bedingung, wenn man neben f’(p) = 0 eine zusätzliche Voraussetzung verlangt. Wir betrachten dazu die folgenden beiden Abbildungen: Aufgrund dieser Abbildungen kann man vermuten: Ist f’(p) = 0 und f’’(x) < 0 für alle x * I (dh. f rechtsgekrümmt in I), dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. Ist f’(p) = 0 und f’’(x) > 0 für alle x * I (dh. f linksgekrümmt in I), dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. Man kann sogar mehr beweisen. Es muss nicht verlangt werden, dass die Zusatzvoraussetzung f’’(x) < 0 bzw. f’’(x) > 0 im ganzen Intervall I gilt. Es genügt, dass diese Voraussetzung an der Stelle p erfüllt ist. Es gilt nämlich der folgende Satz, den wir ohne Beweis anführen: satz (hinreichende Bedingung für eine lokale extremstelle mit hilfe der 2. ableitung) Ist f: A ¥ ℝ eine Polynomfunktion, I a A ein Intervall und p eine innere Stelle von I, dann gilt: (1) f’(p) = 0 ? f’’(p) < 0 w p ist lokale Maximumstelle von f (2) f’(p) = 0 ? f’’(p) > 0 w p ist lokale Minimumstelle von f 3 . 24 Ermittle mit Hilfe des eben angeführten Satzes die lokalen Extremstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = x 3+ 3x 2– 4! lösung: f(x) = x3 + 3x2 – 4 f’(x) = 3x2 + 6x = 0 É x = –2 = x = 0 f’’(x) = 6x + 6 Mit dem obigen Satz ergibt sich: f’(– 2) = 0 ? f’’(– 2) = – 6 < 0 w – 2 ist lokale Maximumstelle von f. f’(0) = 0 ? f’’(0) = 6 > 0 w 0 ist lokale Minimumstelle von f. aufgaben 3 . 25 Ermittle mit Hilfe des obigen Satzes die lokalen Extremstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ! a) f(x) = 1 _ 3x 2 – 2x + 3 d) f(x) = x4 – x2 g) f(x) = x4 + x2 b) f(x) = – 1 _ 8x 2 + x – 2 e) f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 11 h) f(x) = 2x3 – 6x + 2 c) f(x) = x3 – 27x f) f(x) = x4 – 2x2 + 1 i) f(x) = x5 – 5x R f f (x) p x l x p f l f (x) R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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