53 3 . 4 Funkt ionsverlauf und höhere ablei tungen 3 . 4 Funktionsverlauf und höhere ableitungen Krümmung Man sagt: Die Funktion f in Abb. 3.5a ist im Intervall I linksgekrümmt und die Funktion f in Abb. 3.5b ist im Intervall I rechtsgekrümmt. Man stelle sich etwa vor, dass der Graph von f eine Straße darstellt und dass ein Autofahrer diese Straße von links nach rechts durchfährt. In Abb. 3.5a muss er das Lenkrad nach links einschlagen, in Abb. 3.5b nach rechts. Abb 3.5a Abb 3.5b In Abb. 3.5a nimmt die Steigung von f mit wachsendem x zu (sie ist zuerst negativ, dann null, dann positiv). In Abb. 3.5b nimmt die Steigung von f mit wachsendem x ab (sie ist zuerst positiv, dann null, dann negativ). Mit anderen Worten: In Abb. 3.5a ist f’ streng monoton steigend, in Abb. 3.5b streng monoton fallend. Dies führt uns zu folgender Definition: Definition Es sei f: A ¥ ℝ eine Polynomfunktion, f’: A ¥ ℝ ihre Ableitung und I a A ein Intervall. Die Funktion f heißt linksgekrümmt in i, wenn f’ streng monoton steigend in I ist, rechtsgekrümmt in i, wenn f’ streng monoton fallend in I ist, einheitlich gekrümmt in i, wenn f in I entweder linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt ist. Die Art der Krümmung kann man mit Hilfe des folgenden Satzes feststellen: Krümmungssatz (hinreichende Bedingung für links- bzw. rechtskrümmung) Ist f: A ¥ ℝ eine Polynomfunktion und I a A ein Intervall, dann gilt: (1) f’’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f linksgekrümmt in i (2) f’’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I w f rechtsgekrümmt in i Beweis : (1) Nach dem Monotoniesatz gilt: f’’(x) = (f’)’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f’ ist streng monoton steigend in I w w f in I linksgekrümmt (2) Kann analog bewiesen werden. Der Krümmungssatz ist nicht umkehrbar. Es gilt zum Beispiel nicht: f linksgekrümmt in I w f’’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I. Ein Gegenbeispiel stellt die Funktion f mit f(x) = x 4dar (siehe die nebenstehende Abbildung). Die Funktion f ist linksgekrümmt in ganz ℝ, aber es ist f’’(0) = 0 (rechne nach). Durch die Nullstellen von f’’ wird der Definitionsbereich von f in Intervalle zerlegt. Diese Intervalle nennt man Krümmungsintervalle von f, weil in diesen Intervallen f’’ jeweils ein einheitliches Vorzeichen und deshalb f ein einheitliches Krümmungsverhalten aufweist. (Würde nämlich f’’ im Inneren eines dieser Intervalle das Vorzeichen wechseln, müsste im Inneren dieses Intervalls eine weitere Nullstelle von f’’ liegen.) R f l f l x f(x) 1 – 1 1 2 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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