52 3 Untersuchen von Polynomfunkt ionen extremstellen von Polynomfunktionen in abgeschlossenen intervallen 3 .15 Ermittle durch Rechnung die Monotonieintervalle sowie die globalen Extremstellen der Funktion f: [0; 5] ¥ ℝ mit f(x) = 1 _ 4(x 3– 6x 2+ 9x – 8) und skizziere den Graphen von f! lösung: Nullstellen der Ableitung: f(x) = 1 _ 4(x 3 – 6x2 + 9x – 8) f’(x) = 1 _ 4(3x 2 – 12x + 9) = 3 _ 4(x 2 – 4x + 3) = 0 É x = 1 = x = 3 Durch die Nullstellen von f’ wird das Intervall [0; 5] in folgende Monotonieintervalle zerlegt: [0; 1], [1; 3], [3; 5]. Aus f(0) = – 2, f(1) = –1, f(3) = – 2 und f(5) = 3 ergibt sich: f ist in [0; 1] streng monoton steigend, in [1; 3] streng monoton fallend und in [3; 5] streng monoton steigend. Als globale Extremstellen von f im Intervall [0; 5] kommen nur die Randstellen 0 und 5 des Intervalls [0; 5] und die Nullstellen 1 und 3 von f’ in Frage (denn innerhalb der Monotonieintervalle ist f jeweils streng monoton). Anhand der Funktionswerte an diesen Stellen erkennt man: 5 ist globale Maximumstelle von f, 0 und 3 sind globale Minimumstellen von f. Beachte Als globale Extremstellen einer Polynomfunktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] kommen nur die Nullstellen von f’ sowie die Randstellen a und b des Intervalls in Frage, wobei f’(a) und f’(b) nicht unbedingt null sein müssen. Werden die Hoch- und Tiefpunkte mit Technologieeinsatz ermittelt und wird das Definitionsintervall nicht angegeben, kann es sein, dass auch Hoch- und Tiefpunkte ausgegeben werden, die außerhalb dieses Intervalls liegen. aufgaben 3 .16 Ermittle die Monotonieintervalle und globalen Extremstellen der Funktion f im angegebenen Intervall! Skizziere den Graphen von f! a) f(x) = (x – 1) 2, [–1; 3] b) f(x) = x 2+ 1, [– 2; 2] c) f(x) = – x (x – 2), [– 2; 1] 3 .17 Ermittle die Monotonieintervalle und globalen Extremstellen der Funktion f im angegebenen Intervall! Gib allenfalls Hoch- und Tiefpunkte an! Skizziere den Graphen von f! a) f(x) = x 3– 12x 2+ 45x – 53, [1; 6] b) f(x) = x 2(x – 3), [–1; 3] 3 .18 Ermittle die Stellen im angegebenen Intervall, an denen die Funktion f den kleinsten bzw. größten Wert annimmt! Skizziere den Graphen von f! a) f(x) = 1 – 2 _ 5x, [–10; 7] b) f(x) = – 1 _ 4 x 2 + 5 _ 2 x – 9 _ 4, [2; 8] c) f(x) = – 1 _ 3 x 3+ x 2 – 4 _ 3, [–1; 3] 3 .19 Ein Körper bewegt sich im Zeitintervall [6; 16] gemäß der Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = – 0,01t 3+ 0,24t 2+ 6 (t in min, s(t) in m). 1) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers zu Beginn und am Ende des angegebenen Zeitintervalls? 2) In welchen Zeitintervallen nimmt die Geschwindigkeit zu, in welchen ab? R 0 1 2 3 4 5 x f(x) 1 2 3 –1 –2 f R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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