49 3 . 2 Funkt ionsverlauf und erste ablei tung satz (Notwendige Bedingung für eine lokale extremstelle) Für jede Polynomfunktion f gilt: p ist lokale extremstelle von f w f ’(p) = 0 Auch dieser Satz ist nicht umkehrbar, wie man an der Funktion f mit f(x) = x 3sieht. Es ist f’(0) = 0, aber 0 ist keine lokale Extremstelle von f. satz (hinreichende Bedingung für eine lokale extremstelle) Für jede nicht konstante Polynomfunktion f gilt: Ändert f an der Stelle p das Monotonieverhalten, dann ist p eine lokale extremstelle von f. aufgaben 3 . 08 In Abb. 3.3a, b, c, d ist jeweils eine Funktion f: [0; 6] ¥ ℝ dargestellt. Wir betrachten folgende Eigenschaften: (1) f besitzt keine lokale Extremstelle. (2) f besitzt die Nullstellen 2 und 4. (3) Es gibt genau zwei Stellen x mit f’(x) = 0. (4) Es ist f’(x) > 0 für 1 < x < 3. (5) An keiner Stelle x ist f’(x) < 0. (6) Es gibt eine Stelle x mit f’(x) = 0, die keine lokale Extremstelle ist. (7) f ändert an zwei Stellen das Monotonieverhalten. (8) Im Intervall [2; 4] gibt es keine Stelle x mit f’(x) = 0. Kreuze in der folgenden Tabelle an, welche Eigenschaften die dargestellten Funktionen aufweisen! (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Funktion in Abb. 3.3a Funktion in Abb. 3.3b Funktion in Abb. 3.3 c Funktion in Abb. 3.3d Abb. 3.3a Abb. 3.3b Abb. 3.3 c Abb. 3.3d R 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 1 2 3 –1 –2 x f 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 1 2 3 –1 –2 x f 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 1 2 3 –1 –2 x f 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 1 2 3 –1 –2 x f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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