46 3 Untersuchen von Polynomfunkt ionen Definition Ist p eine lokale Maximumstelle von f, so nennt man den Punkt h = (p 1 f(p)) einen hochpunkt des graphen von f. Ist p eine lokale Minimumstelle von f, so nennt man den Punkt t = (p 1 f(p)) einen tiefpunkt des graphen von f. Die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f nennt man extrempunkte des graphen von f. Beispiel : Für die nebenstehend abgebildete, auf A = [0; 6] definierte Funktion f gilt: Die Stelle 0 ist eine globale Maximumstelle von f, da f(x) ª f(0) für alle x * A ist. Die Stelle 0 ist aber keine lokale Maximumstelle von f, weil 0 eine Randstelle von A ist. Die Stelle 6 ist eine globale Minimumstelle von f, da f(x) º f(6) für alle x * A ist. Die Stelle 6 ist aber keine lokale Minimumstelle von f, weil 6 eine Randstelle von A ist. Die Stelle 2 ist eine lokale Minimumstelle von f, weil 2 beispielsweise Minimumstelle von f in der Umgebung U(2) = [1; 3] ist. Die Stelle 2 ist aber keine globale Minmumstelle von f, weil es in A kleinere Funktionswerte als f(2) gibt. Die Stelle 5 ist eine lokale Maximumstelle von f, weil 5 beispielsweise Maximumstelle von f in der Umgebung U(5) = [4; 6] ist. Die Stelle 5 ist aber keine globale Maximumstelle von f, weil es in A größere Funktionswerte als f(5) gibt. H = (5 1 4) ist ein Hochpunkt, T = (2 1 2) ein Tiefpunkt des Graphen von f. aufgaben 3 . 01 Die dargestellten Funktionen f, g und h sind im Intervall [–3; 3] definiert. Kreuze in der Tabelle an, was auf die jeweilige Funktion zutrifft! f g h 0 ist eine Nullstelle der Funktion. –1 und 1 sind lokale Extremstellen der Funktion. 2 ist eine lokale Minmumstelle der Funktion. Die Funktion ist in [–1; 1] streng monoton fallend. Die Funktion wechselt an der Stelle –1 ihr Monotonieverhalten. 3 . 02 Nebenstehend ist eine Funktion f: [0, 6] ¥ ℝ dargestellt. Ergänze! a) Die Stelle _________ ist eine globale Minimumstelle von f. b) Die Stelle 2 ist eine ______________ Minimumstelle von f. c) Es gibt _______________ globale Maximumstellen von f. d) Der Punkt (3 1 4) ist ein _____________ des Graphen von f. 0 1 2 3 4 5 6 7 2. A. 1 2 3 4 5 6 1. A. f T h U(2) U(5) R 0 1 –3 –2 –1 2 3 x f(x) 1 3 –1 –2 –3 f 2 0 1 –3 –2 –1 2 3 1 2 3 –1 –2 –3 g x g(x) 0 1 –3 –2 –1 2 3 1 2 3 –1 –2 –3 h x h(x) 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 1 2 3 4 x f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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