45 3 .1 Wiederholung: Monotonie und eXtremstellen von Funkt ionen Abb. 3.1 a streng monoton steigende Funktion Abb. 3.1 b streng monoton fallende Funktion Abb. 3.2 globale und lokale extremstellen Definition Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt Maximumstelle von f in M, wenn f(x) ª f(p) für alle x * M. Minimumstelle von f in M, wenn f(x) º f(p) für alle x * M. extremstelle von f in M, wenn p eine Maximumstelle oder Minimumstelle von f in M ist. Man unterscheidet globale und lokale extremstellen einer Funktion. Definition Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt globale Maximumstelle von f, wenn p Maximumstelle von f im gesamten Definitionsbereich A ist, globale Minimumstelle von f, wenn p Minimumstelle von f im gesamten Definitionsbereich A ist, globale extremstelle von f, wenn p globale Maximumstelle oder globale Minimumstelle von f ist. Definition Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist, lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist, lokale extremstelle von f, wenn sie eine lokale Maximumstelle oder lokale Minimumstelle von f ist. Beachte : Unter einer Umgebung U(p) einer Stelle p verstehen wir in diesem Buch ein beliebiges intervall, welches p als innere stelle enthält (dh. p darf keine Randstelle des Intervalls sein). Die Umgebung U(p) erstreckt sich also sowohl links als auch rechts von p, muss aber nicht symmetrisch um p liegen. Ist p eine lokale Extremstelle einer Funktion f, dann muss nach der obigen Definition die Umgebung U(p) ganz im Definitionsbereich A von f liegen. Somit kann in diesem Buch eine randstelle von a keine lokale extremstelle (wohl aber eine globale Extremstelle) sein. Vermeide den unklaren Ausdruck extremstelle von f! Sprich genauer von einer extremstelle von f in M (zB. in [a; b]) oder von einer lokalen bzw. globalen extremstelle von f! x f (x) f M f (x1) x1 x2 f (x2) f M f (x1) x1 x2 f (x2) x f (x) 0 1 2 3 4 5 6 x 1 2 3 4 5 f f (x) R U (p) p Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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