36 2 grundbegri FFe der Di FFerent ialrechnung 2 . 60 Durchfährt ein Auto der Masse m eine kreisförmige Kurve vom Radius r, so ist die Fliehkraft gegeben durch F = mv 2 _ r (F in Newton, m in Kilogramm, r in Meter, v in m/s). Wir betrachten ein Auto der Masse m = 1 200 kg, das eine Kurve vom Radius r = 100m durchfährt. 1) Gib eine Termdarstellung der Funktion F: v ¦ F(v) an! 2) Das Auto erhöht seine Geschwindigkeit. Gib eine Formel für die Änderungsrate der Fliehkraft bezüglich der Geschwindigkeit bei der Geschwindigkeit v an! 3) Wie stark ändert sich die Fliehkraft bei der Geschwindigkeit 100km/h? 2 . 61 Bewegt sich ein Körper der Masse m mit der Geschwindigkeit v, so beträgt seine kinetische Energie E(v) = mv 2 _ 2 . Die Größe p(v) = m· v bezeichnet man als Impuls bei der Geschwindigkeit v. 1) Zeige: Der Impuls ist die Änderungsrate der kinetischen Energie bezüglich der Geschwindigkeit. 2) Stelle eine Formel für den Impuls eines frei fallenden Körpers auf (v = g · t)! Zeige: Die Änderungsrate dieses Impulses bezüglich der Zeit ist das Gewicht G des Körpers. 2 . 62 Die Geschwindigkeit des Bluts in einem Blutgefäß ist nicht an allen Stellen gleich groß. In der Mitte ist sie am größten, an den Wänden nahezu 0. Theorie und Messungen zeigen, dass die Blutgeschwindigkeit im Abstand r von der Mitte ungefähr v = C · (R2 – r2) beträgt, wobei R der durchschnittliche Radius des Blutgefäßes und C eine positive Konstante ist. 1) Berechne die Änderungsrate der Blutgeschwindigkeit bezüglich des Abstands r! Was bedeutet es, dass diese Änderungsrate negativ ist? 2) Wenn jemand Alkohol zu sich nimmt, erweitern sich die Blutgefäße. Nimmt dadurch die Blutgeschwindigkeit in einem bestimmten Abstand r ab oder zu? Hat dies einen Einfluss auf die in 1) berechnete Änderungsrate? 2 . 63 Die Flugbahn eines Körpers ist gegeben durch den Graphen der Funktion f. Berechne den Abschusswinkel α und den Aufprallwinkel β! a) f(x) = – x2 + 8x b) f(x) = – 0,1x2 + 0,2x 2 . 64 Die Flugbahn eines Körpers ist gegeben durch den Graphen einer Funktion f mit f(x) = ax2 + bx + c. 1) Welche Bedingungen müssen a, b und c erfüllen, damit die Abschussstelle im Koordinatenursprung und die Aufprallstelle auf der positiven ersten Achse liegt? 2) Ermittle die Steigung der Flugbahn an der Abschussstelle und an der Aufprallstelle! 2 . 65 Der Lichtpunkt auf einem Bildschirm bewegt sich längs einer Kurve, die durch die Funktion f mit f(x) = x3 – x gegeben ist. 1) In welche Richtung bewegt sich der Lichtpunkt an der Stelle 2? (Gib einen Richtungsvektor der Tangente an!) 2) Wie groß ist der Neigungswinkel der Tangente im Punkt P = (2 1 f(2))? 2 . 66 Ein punktförmiges Teilchen bewegt sich längs einer Kurve, die durch die Funktion f mit f(x) = 1 _ 4(x 3 + 2x2 – 3x) gegeben ist. Das Teilchen trifft auf eine Wand, die durch die Gleichung x = 4 beschrieben wird. Unter welchem Winkelmaß α trifft das Objekt auf die Wand auf? r R x f (x) α β x f (x) α Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv
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