32 2 grundbegri FFe der Di FFerent ialrechnung 2 . 4 ableitungen ableitungsfunktion Bisher haben wir den Differentialquotienten einer Funktion f: A ¥ R lediglich an einer bestimmten Stelle x betrachtet. Kann man aber jeder Stelle x * A den Differentialquotienten f’(x) zuordnen, so kann man auch die Funktion f’: A ¥ R ‡ x ¦ f’(x) betrachten. Definition Die Funktion f’: x ¦ f’(x) nennt man ableitungsfunktion von f oder kurz ableitung von f. Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man ableiten oder Differenzieren. ableitungsregeln für Polynomfunktionen Eine Polynomfunktion kann als „Summe“ von Potenzfunktionen der Form p n(x) = c · x naufgefasst werden. So kann etwa die Polynomfunktion f mit f(x) = 5 · x 3– 3 · x 2+ x + 1 in folgender Form geschrieben werden: f(x) = p 3(x) + p 2(x) + p 1(x) + p 0(x) mit p 3(x) = 5 · x 3, p 2(x) = – 3 · x 2, p 1(x) = x und p 0(x) = 1 Um Polynomfunktionen auf einfache Weise differenzieren zu können, werden wir uns Regeln für die Ableitung von Funktionen der folgenden Art überlegen: konstante Funktion: f(x) = c (c konstant) Potenzfunktion: f(x) = xn (n * N*) vielfaches einer Funktion: f(x) = c · g(x) (c konstant) Summe von Funktionen: f(x) = g(x) + h(x) satz (ableitung einer konstanten Funktion) f(x) = c w f’(x) = 0 (c * R) BeWeis : f(x) = c w f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = lim z ¥ x c – c _ z – x= lim z ¥ x 0 = 0 satz (ableitung der identischen Funktion) f(x) = x w f ’(x) = 1 BeWeis : f ’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = lim z ¥ x z – x _ z – x= lim z ¥ x 1 = 1 2 . 37 Es sei a) f(x) = x2, b) f(x) = x3. Ermittle f’(x)! Ergibt sich eine allgemeine vermutung? satz (Potenzregel für natürliche exponenten) f(x) = x n w f ’(x) = n · x n – 1 (n * ℕ*, n > 1) BeWeis : Sei f(x) = xn (mit n * N*, n > 1). Dann gilt unter Benutzung der Regel von Horner: f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = lim z ¥ x z n – xn _ z – x = lim z ¥ x (z – x)(z n – 1 + zn – 2 · x + zn – 3 · x2 + … + z · xn – 2 + xn – 1) ________ z – x = = lim z ¥ x (zn – 1 + zn – 2 · x + … + z · xn – 2 + xn – 1) = (xn – 1 + xn – 2 · x + … + x · xn – 2 + xn – 1) = 12222222222222222222222232222222222222222222245 12222222222222222222222322222222222222222222245 n Summanden n Summanden = (xn – 1 + xn – 1 + … + xn – 1 + xn – 1) = n · xn – 1 12222222222222222223222222222222222245 n Summanden R kompakt seite 39 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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