30 2 grundbegri FFe der Di FFerent ialrechnung Da sich der lockere Umgang mit den Differentialen dx und dy in Anwendungen bewährt hatte, versuchte man später, diese Ausdrücke für sich allein zu definieren. Dies gelang im Prinzip auch im 20. Jahrhundert, wodurch die Leibniz’sche Schreibweise nachträglich (nach ca. 300 Jahren) gerechtfertigt wurde. Wir können darauf nicht näher eingehen, da dazu weitreichende Mittel aus der höheren Mathematik erforderlich sind. Weitere schreibweisen Statt z – x = Δx setzt man manchmal z – x = h und erhält damit: f(z) – f(x) __ z – x = f(x + Δx) – f(x) __ Δx = f(x + h) – f(x) __ h bzw. f’(x) = dy _ dx= lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = lim Δx ¥ 0 f(x + Δx) – f(x) __ Δx = lim h ¥ 0 f(x + h) – f(x) __ h In der Physik schreibt man statt f’(x) gelegentlich ˙ f(x) [lies: f Punkt von x]. Beispiel : Für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t schreibt man v(t) = ˙ s(t). auFgaben 2 . 28 Schreibe die folgende Aussage mit Hilfe der Leibniz’schen Schreibweise an! a) v’(t) = lim z ¥ t v(z) – v(t) __ z – t b) v’(r) = lim z ¥ r v(z) – v(r) __ z – r c) A’(r) = lim z ¥ r A(z) – A(r) __ z – r d) F’(v) = lim z ¥ v F(z) – F(v) __ z – v 2 . 29 Schreibe die folgende Aussage mit Hilfe der Leibniz’schen Schreibweise an! a) s(t) = g _ 2t 2 w s’(t) = gt b) A(s) = s2 w A’(s) = 2s c) O(r) = 4 πr2 w O’(r) = 8 πr 2 . 30 Schreibe die Aussage auf drei weitere Arten an! a) s’(t) = lim z ¥ t s(z) – s(t) __ z – t b) g’(x) = lim h ¥ 0 g(x + h) – g(x) __ h c) f’(u) = lim z ¥ u f(z) – f(u) __ z – u 2 . 31 In einer Fabrik wird eine flüssige Chemikalie erzeugt. Bei einer Tagesproduktion von x Liter entstehen die Produktionskosten K(x). Interpretiere den folgenden Ausdruck im gegebenen Kontext! a) K(x + Δx) – K(x) b) K(x + Δx) – K(x) ___ Δx c) dK(x) _ dx 2 . 32 Es sei y = g(x). Ordne jeder Schreibweise in der linken Tabelle die zugehörige Schreibweise aus der rechten Tabelle zu! g’(x) A g(x + h) – g(x) __ h Δy _ Δx B Δy g(x + Δx) – g(x) C dy _ dx R x z f z – x f (z) – f (x) f (x) f (z) x x + Δx f Δx f (x + Δx) – f (x) f (x) f (x + Δx) x x + h f h f (x + h) – f (x) f (x) f (x + h) R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv
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