29 2 . 3 schreibWeisen Für den Di FFerenzen- und Di FFerent ialQuot ienten 2 . 3 schreibWeisen Für den DiFFerenzen- und DiFFerentialQuotienten leibniz’sche schreibweise In vielen Anwendungen ist für den Differenzen- und Differentialquotienten eine Schreibweise gebräuchlich, die auf gottfried Wilhelm leibniz (1646–1716) zurückgeht. Dieser setzte: z – x = Δx [lies: Delta x] und f(z) – f(x) = Δy [lies: Delta y] Damit lässt sich der Differenzenquotient so schreiben: f(z) – f(x) __ z – x = Δy _ Δx Nähert sich z unbegrenzt der Zahl x, so wird sowohl Δx als auch Δy immer kleiner. Schließlich erhält man „unendlich kleine Größen“, die Leibniz Differentiale nannte und mit dx bzw. dy bezeichnete. Die Zahl, der sich der Quotient Δy _ Δx dabei unbegrenzt nähert, bezeichnete Leibniz mit dy _ dx[lies: dy nach dx]. Er fasste diese Zahl als Quotienten der Differentiale dy und dx auf und nannte sie folgerichtig Differentialquotient. Unsere bisherige Schreibweise lässt sich leicht in die Leibniz’sche Schreibweise übersetzen: bisherige schreibweise: leibniz’sche schreibweise: f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x dy _ dx= lim Δx ¥ 0 Δy _ Δx Diese Überlegungen sind aber nicht unproblematisch. Was sind „unendlich kleine Größen“? Wie kann man aus zwei „unendlich kleinen Größen“ deren Quotienten berechnen? Da die Differentiale dx und dy für sich allein keine Bedeutung haben, kann dy _ dxnicht als Bruch mit einem Zähler und einem Nenner aufgefasst werden. Das Symbol ergibt nur als Ganzes einen Sinn. Man liest deshalb auch nicht „dy durch dx“, sondern „dy nach dx“. Obwohl Leibniz seine vorstellungen nicht näher erklären konnte und obwohl seine Schreibweise vielfach kritisiert wurde, wird sie noch heute häufig verwendet. (Statt dy _ dxschreibt man manchmal auch df _ dx oder df(x) _ dx ). Ein vorteil des Symbols dy _ dxgegenüber dem Symbol f’(x) besteht darin, dass es an die Definition des Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten erinnert. Die vorstellung eines Bruchs kann dabei für manche intuitive Überlegungen von vorteil sein, auch wenn sie streng genommen nicht gerechtfertigt ist. Insbesondere sind die Symbole Δy _ Δx und dy _ dxdann nützlich, wenn es auf die genaue Angabe der Intervallgrenzen bzw. der betrachteten Stelle nicht ankommt. Zwei Beispiele mögen die verwendung der Leibniz’schen Schreibweise illustrieren: Beispiel 1 : In nebenstehender Abbildung ist die Steigung der Sekante gleich Δy _ Δx. Strebt Δx gegen 0, so strebt die Sekantensteigung Δy _ Δx gegen die Tangentensteigung dy _ dx. Beispiel 2 : Wenn sich in einem Zeitintervall der Länge Δt der Ort um Δs ändert, so beträgt die mittlere Geschwindigkeit in diesem Wegintervall Δs _ Δt. Strebt Δt gegen 0, so strebt die mittlere Geschwindigkeit Δs _ Δt gegen die Geschwindigkeit ds _ dtzum Zeitpunkt t. R Ó applet 59k8p4 f x x + Δx s t Δx Δy Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv
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