260 ANhaNG: BEWEISE zu 5.1 (seite 104) satz (spaltform der tangentengleichung einer ellipse) Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt T = (x T 1 y T) der Ellipse b 2 x 2+ a 2 y 2= a 2 b 2lautet: b 2 x tx + a 2 y ty = a 2 b 2 BeWeis : Wir zeigen, dass die Ellipse ell: b 2 x 2+ a 2 y 2= a 2 b 2 und die Gerade t: b 2 x Tx + a 2 y Ty = a 2 b 2genau den Punkt T = (x T 1 y T) gemeinsam haben. { b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 b 2x Tx + a 2y Ty = a 2b 2 Aus der 2. Gleichung erhält man: y = – b 2x T _ a 2y T · x + b 2 _ y T . Einsetzen in die 1. Gleichung liefert: b 2x 2+ a 2· 2 b 4x T 2 _ a 4y T 2 · x 2 – 2 · b 4x T _ a 2y T 2 · x + b 4 _ y T 2 3– a 2b 2= 0 b 2x 2 + b 4x T 2 _ a 2y T 2 · x 2 – 2b 4x T _ y T 2 · x + a 2b 4 _ y T 2 – a 2b 2= 0 | · a 2y T 2 a 2b 2y T 2· x 2+ b 4x T 2· x 2– 2a 2b 4x T· x + a 4b 4– a 4b 2y T 2= 0 | : b 2 a 2y T 2· x 2+ b 2x T 2· x 2– 2a 2b 2x T· x + a 4b 2– a 4y T 2= 0 2 b 2x T 2+ a 2y T 2 3· x 2– 2a 2b 2x T· x + a 2· 2 a 2b 2– a 2y T 2 3= 0 (weil T = (x T 1 y T) * ell) 1222222232222225 1222222232222225 a 2 b 2 b 2 x T 2 a 2b 2· x 2– 2a 2b 2x T· x + a 2b 2x T 2= 0 | : a 2b 2 x 2– 2x Tx + x T 2= 0 (x – x T) 2= 0 x = x T , y = – b 2x T _ a 2y T · x T + b 2 _ y T = a 2b 2– b 2x T 2 __ a 2y T = a 2y T 2 _ a 2y T = y T zu 5.3 (seite 113) satz (spaltform der tangentengleichung einer Parabel) Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt T = (x T 1 y T) der Parabel y 2= 2px lautet: y t · y = p · x + p · x t BeWeis : Wir zeigen, dass die Parabel par: y 2 = 2px und die Gerade t: y Ty = px + px Tgenau den Punkt T = (x T 1 y T) gemeinsam haben. { y 2 = 2px y T · y = p · x + p · x T Aus der 2. Gleichung erhält man: y = p _ y T (x + x T). Einsetzen in die 1. Gleichung liefert: p 2 _ y T 2 · 2 x 2+ 2x Tx + x T 2 3= 2px p 2 2 x 2+ 2x Tx + x T 2 3= 2p · y T 2· x (weil T = (x T 1 y T) * par) 135 2px T p 2 2 x 2+ 2x Tx + x T 2 3= 4p 2x Tx | : p 2 x 2+ 2x Tx + x T 2– 4x Tx = 0 (x – x T ) 2= 0 x = x T , y = p _ y T (x T+ x T) = 2px T _ y T = y T 2 _ y T = y T Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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