259 seMesterchecK 2 Containerschifffahrt Aufgrund günstiger Wetterbedingungen kann das Containerschiff MS Kalliope eine 5600 km lange Strecke auf hoher See mit annähernd konstanter Geschwindigkeit zurücklegen. Die gewählte Fahrtgeschwindigkeit entscheidet dabei über den stündlichen verbrauch und damit über den Gesamtverbrauch an Kraftstoff auf dieser Strecke. Der Zusammenhang zwischen der Fahrtgeschwindigkeit v und dem stündlichen Kraftstoffverbrauch R der Schiffsmotoren kann annähernd durch die Funktion R: v ¦ 0,0024 · v 2+ 1,5 mit v º 0 beschrieben werden, wobei R in Tonnen/h und v in km/h angegeben ist. Den Zusammenhang zwischen der Fahrtgeschwindigkeit v (in km/h) und der auf dieser Strecke insgesamt verbrauchten Kraftstoffmenge G (in Tonnen) gibt die Funktion G: ℝ + ¥ ℝ ‡ v ¦ G(v) an. a) Schiffsgeschwindigkeiten werden oft in der Maßeinheit Knoten (kn) angegeben. Dabei gilt: 1 kn = 1,852 km/h. Gib eine Termdarstellung der Funktion R für R in kg/h und v in kn an! Kreuze die Aussagen an, die auf die Funktion R und den durch R beschriebenen Sachverhalt zutreffen! Die Funktion R ist streng monoton steigend. Selbst wenn die MS Kalliope vor Anker liegt, verbrauchen die Schiffsmotoren täglich 36 t Kraftstoff. Der Graph der Funktion R ist rechtsgekrümmt. Eine um 1 km/h höhere Geschwindigkeit hat eine Erhöhung des stündlichen Kraftstoffverbrauchs um 0,0024 t zur Folge. Bei einem stündlichen Kraftstoffverbrauch von 2,5 Tonnen/h dauert die 5600 km lange Fahrt mehr als 10 Tage. b) Zeige, dass G(v) = 13,44 · v 2+ 8400 ___ v eine korrekte Termdarstellung von G ist! Nebenstehend ist ein Ausschnitt des Graphen der Funktion G dargestellt. Ermittle näherungsweise anhand des Graphen, für welche Werte von v sich insgesamt ein verbrauch von weniger 950 Tonnen Kraftstoff ergibt! c) Beschreibe das verhalten der Funktion G anhand der Formel G(v) = 13,44 · v 2+ 8400 ___ v , wenn sich v von rechts her unbegrenzt der Stelle 0 nähert, und interpretiere dieses verhalten von G im Kontext! Begründe, dass die insgesamt verbrauchte Kraftstoffmenge G(v) für große Werte von v annähernd linear zunimmt! d) Aus Kostengründen wird der Kapitän der MS Kalliope auf der 5600 km langen hochseestrecke klarerweise jene Geschwindigkeit v minwählen, für die die insgesamt verbrauchte Kraftstoffmenge möglichst klein ist. Ermittle diese Geschwindigkeit v minmittels Differentialrechnung! Gib zu v mindie insgesamt verbrauchte Kraftstoffmenge, den stündlichen Kraftstoffverbrauch und die ungefähre Dauer der Fahrt in Tagen an! ag-R 2 .1 ag-R 2 . 3 Fa-R 1 . 2 Fa-R 1 . 4 Fa-R 1 . 5 aN-R 1 . 2 aN-R 3 . 3 aN- l 3 . 4 v (in km/h) G(v) (in t) 10 20 30 40 50 60 70 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2 000 0 G Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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