253 Kompetenzcheck aUFgaBeN voM tyP 2 12 . 56 Komplexe zahlen und quadratische gleichungen a) Zeige: Zwei komplexe Zahlen z und – z (mit z ≠ 0) liegen in der Gauß’schen Zahlenebene symmetrisch bezüglich des Ursprungs. Beschreibe, wie zwei konjugiert komplexe Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene zueinander liegen! b) Gegeben ist eine quadratische Gleichung x 2+ px + q = 0 mit p * ℝ und q * ℝ +. Zeige: Ist p = 0, dann besitzt die Gleichung zwei Lösungen, die imaginär und konjugiert komplex sind. Zeige umgekehrt: Wenn die Gleichung x 2+ px + q = 0 zwei imaginäre und konjugiert komplexe Lösungen besitzt, dann muss p = 0 sein. 12 . 57 Punktmengen in der gauß’schen zahlenebene Wir bezeichnen in den folgenden Aufgaben den Realteil einer komplexen Zahl z mit Re(z) und den Imaginärteil mit Im(z). a) T eilmengen von ℂ entsprechen Punktmengen in der Gauß’schen Zahlenebene. Ordne jeder in der linken Tabelle dargestellten Punktmenge der Gauß’schen Zahlenebene die zugehörige Teilmenge von ℂ aus der rechten Tabelle zu! i 1 ‒ 1 ‒ i A {z * ℂ ‡ †z† ª 1} i 1 ‒ 1 ‒ i B {z * ℂ ‡ †Re(z)† ª 1 ? †Im(z)† ª 1} i 1 ‒ 1 ‒ i C {z * ℂ 1 0 ª Re(z) ª 1 ? 0 ª Im(z) ª 1} Skizziere die Menge {z * ℂ ‡ Im(z) = 1 – Re(z)} in der Gauß’schen Zahlenebene! b) In der Abbildung sind vier komplexe Zahlen z 1, z 2, z 3und z 4durch Punkte bzw. Pfeile dargestellt. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an! Nach steigenden Beträgen geordnet lauten diese Zahlen: z 2 , z 1 , z 4 , z 3 . Nach steigenden Argumenten geordnet lauten diese Zahlen: z 4 , z 3 , z 2 , z 1 . Nach steigenden Realteilen geordnet lauten diese Zahlen: z 3 , z 2 , z 4 , z 1 . Nach steigenden Imaginärteilen geordnet lauten diese Zahlen: z 3 , z 4 , z 2 , z 1 . Alle vier Zahlen haben einen Betrag < 4. Zwei komplexe Zahlen z 1und z 2sind als Punkte in der Gauß’schen Zahlenebene dargestellt. Gib an, was der Ausdruck † z 1– z 2 †in diesem Zusammenhang bedeutet! ag-r 1 .1 ag- l 1 . 5 ag-r 1 .1 ag- l 1 . 5 1 – 1 i – i z1 z2 z3 z4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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