244 12 KompleXe zahlen Wurzeln aus komplexen zahlen Bisher haben wir von den beiden Lösungen der Gleichung x 2= – a nur die Lösung 9_ a· i als 9__ – a bezeichnet. Nun verzichten wir auf diese vereinbarung und definieren allgemein: Definition: Jede komplexe Lösung der Gleichung x n= z (mit z * ℂ und n * N*) wird mit n 9_ z bezeichnet. Wir nehmen dabei in Kauf, dass der Wurzelbegriff im Komplexen mehrdeutig ist. Wenn wir z = r · (cos φ + i · sin φ) setzen, dann ist jede komplexe Zahl z kder Form z k= n 9_ r· 4 cos 2 φ _ n + k · 360° _ n 3+ i · sin 2 φ _ n + k · 360° _ n 3 5mit k = 0, 1, 2, …, n – 1 mit n * N* eine Lösung der Gleichung x n= z, denn nach dem letzten Satz gilt: z k n= 2 n 9_ r 3 n· 4 cos 2 n · 2 φ _ n + k · 360° _ n 3 3+ i · sin 2 n · 2 φ _ n + k · 360° _ n 3 3 5= = r · [cos(φ + k · 360°) + i · sin(φ + k · 360°) = r · [cos(φ) + i · sin(φ)] = z Für k = 0, 1, 2, …, n – 1 ergeben sich n verschiedene Lösungen der Gleichung x n= z, weil das Argument jeweils um 360° _ n zunimmt. Für k = n, n + 1, n + 2, … wiederholen sich die schon erhaltenen Lösungen. Man kann zeigen, dass es außer den Zahlen z kkeine weiteren Lösungen der Gleichung x n= z gibt. Somit gilt: Satz Alle n-ten Wurzeln aus einer komplexen Zahl z = r · [cos(φ) + i · sin(φ)] sind gegeben durch z k= n 9_ r· 4 cos 2 φ _ n + k · 360° _ n 3+ i · sin 2 φ _ n + k · 360° _ n 3 5 mit k = 0, 1, 2, … n – 1 12 . 42 Berechne alle dritten Wurzeln der Zahl z = 27 · [cos(75°) + i · sin(75°)] und stelle diese in der Gauß’schen Zahlenebene dar! Was fällt auf? lösung: z 0= 3 9__ 27· [cos(25° + 0 · 120°) + i · sin(25° + 0 · 120°)] = = 3 · [cos(25°) + i · sin(25°)] z 1= 3 9__ 27· [cos(25° + 1 · 120°) + i · sin(25° + 1 · 120°)] = = 3 · [cos(145°) + i · sin(145°)] z 2= 3 9__ 27· [cos(25° + 2 · 120°) + i · sin(25° + 2 · 120°)] = = 3 · [cos(265°) + i · sin(265°)] Die den Wurzeln entsprechenden Punkte liegen auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius 3 und bilden die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks. Bemerkung: Alle Lösungen der Gleichung x n= z = r · [cos(φ) + i · sin(φ)] haben den gleichen Betrag n 9_ r. Die zugeordneten Punkte in der Gauß’schen Zahlenebene liegen somit auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius n 9_ r. Da ihre Argumente schrittweise um 360° _ n zunehmen, bilden sie die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks. aufgaBen 12 . 43 Berechne alle Quadratwurzeln aus z und stelle sie in der Gauß’schen Zahlenebene dar! a) z = 4 · [cos(68°) + i · sin(68°)] b) z = 9 12 . 44 Berechne alle dritten Wurzeln aus z und stelle sie in der Gauß’schen Zahlenebene dar! a) z = 27 · [cos(135°) + i · sin(135°)] b) z = –8 L 0 25° z0 145° 265° 3 3 3 reelle Achse imaginäre Achse z2 z1 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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