243 12 . 6 Wei tere Darstellungen kompleXer zahlen aufgaBen 12 . 36 Berechne Betrag und Argument der komplexen Zahl! a) 3 – 4i b) 5 + 12i c) – 4i d) 7 + 24i e) 12 – 35i f) 2,1 – 20i 12 . 37 Gib die komplexe Zahl in Polardarstellung an! a) 3 + 4i c) 5 – 12i e) 6 + 8i g) i i) 3 b) 4 – 3i d) – 3 _ 2+ 2i f) 15 – 8i h) – 5i j) 17,5i 12 . 38 Gib die komplexe Zahl in der Form a + b · i an! a) 5 · [cos(30°) + i · sin(30°)] b) 4 · [cos(120°) + i · sin(120°)] Multiplizieren und Dividieren komplexer zahlen in Polardarstellung Satz: Sind z 1= r · [cos(φ) + i · sin(φ)] und z 2= s · [cos(ψ) + i · sin(ψ)] zwei komplexe Zahlen, so gilt: (1) z 1· z 2= r · s · [cos(φ + ψ) + i · sin(φ + ψ)] (2) z 1 _ z 2 = r _ s· [cos(φ – ψ) + i · sin(φ – ψ)] Ein Beweis dieses Satzes findet sich im Anhang auf Seite 261. Merke Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. Bei der Division werden die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert. Potenzen komplexer zahlen in Polardarstellung Die folgende Formel geht auf den Mathematiker abraham de Moivre (1667–1754) zurück. Satz (Formel von de Moivre) Für n * N* gilt: z = cos(φ) + i · sin(φ) w z n= cos(n φ) + i · sin(n φ) Beweis : Wird n fortlaufend um 1 erhöht, so erhöht sich das Argument von z njeweils um φ. Daher gilt: z 2= z · z = cos(2 φ) + i · sin(2 φ), z 3= z 2· z = cos(3 φ) + i · sin(3 φ) usw. Aus dieser Formel folgt unmittelbar: Satz (Potenzen einer komplexen zahl) Für n * N* gilt: z = r · [cos(φ) + i · sin(φ)] w z n= r n· [cos(n φ) + i · sin(n φ)] aufgaBen 12 . 39 Berechne z 2und z 3! a) z = 2 · [cos(75°) + i · sin(75°)] b) z = 1 _ 2· [cos(170°) + i · sin(170°)] 12 . 40 Berechne z 2, z 3 u nd z 4! Gib diese Zahlen in der Form a + b · i sowie in Polardarstellung an! a) z = 3 + 9 _ 3· i b) z = 1 – 9 _ 3· i c) z = 1 _ 2 + 1 _ 2· i d) z = 1 – i 12 . 41 Für die komplexe Zahl z gilt †z† = 1 und a) arg(z) = 120°, b) arg(z) = 72°. Berechne z 2, z 3, z 4, z 5, z 6 und stelle diese Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene dar! Was fällt auf? L Ó lernapplet i4k372 L L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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