242 12 KompleXe zahlen 12 . 6 Weitere Darstellungen kompleXer zahlen Polardarstellung komplexer zahlen Ist eine von 0 verschiedene komplexe Zahl a + b · i als Punkt P = (a 1 b) in der Gauß’schen Zahlenebene dargestellt, so kann man den Punkt P auch durch seine Polarkoordinaten r und φ angeben: P = [r 1 φ] mit r * ℝ* und φ * [0°; 360°) Definition Die komplexe Zahl a + b · i ≠ 0 sei in der Gauß’schen Zahlenebene durch den Punkt P = (a 1 b) = [r 1 φ] dargestellt. r heißt Betrag von a + b · i. Man schreibt: r = †a + b · i†. φ heißt argument von a + b · i. Man schreibt: φ = arg(a + b · i) Für die komplexe Zahl 0 setzt man †0† = 0, arg(0) ist jedoch nicht definiert. Wir erinnern uns daran, dass die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten und umgekehrt mit Hilfe der folgenden Formeln durchgeführt werden kann: a = r · cos(φ), b = r · sin(φ) bzw. r = 9 ____ a 2+ b 2 , tan(φ) = b _ a (falls a ≠ 0) Damit ergibt sich: a + b · i = r · cos(φ) + r · sin(φ) · i = r · [cos(φ) + i · sin(φ)] Definition Die Darstellung z = r · [cos(φ) + i · sin(φ)] einer komplexen Zahl z heißt Polardarstellung von z. Wir fassen zusammen: Satz Ist z = a + b · i eine von 0 verschiedene komplexe Zahl, r = †a + b · i† und φ = arg(a + b · i), dann gilt: (1) a = r · cos(φ), b = r · sin(φ) (2) r = 9 ____ a 2+ b 2 , tan(φ) = b _ a (falls a ≠ 0) (3) a + b · i = r · [cos(φ) + i · sin(φ)] 12 . 34 Stelle die komplexe Zahl 5 · [cos(140°) + i · sin(140°)] in der Form a + b · i dar! lösung: a = 5 · cos(140°) ≈ – 3,83, b = 5 · sin(140°) ≈ 3,21 Damit ergibt sich: 5 · [cos(140°) + i · sin(140°)] ≈ – 3,83 + 3,21 · i 12 . 35 Berechne Betrag und Argument der komplexen Zahl 5 – 12i und gib die Zahl in Polardarstellung an! lösung: r = 9 ______ 5 2+ (–12) 2= 9__ 169= 13, tan(φ) = –12 _ 5 w φ ≈ 292,6° (wegen φ * Q Iv) Somit gilt: 5 – 12i ≈ 13 · [cos(292,6°) + i · sin(292,6°)] L kompakt Seite 250 0 a φ b r P reelle Achse imaginäre Achse 0 a φ b r P reelle Achse imaginäre Achse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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