239 12 . 4 geometrische Darstellung kompleXer zahlen 12 . 4 geometrische Darstellung kompleXer zahlen Die gauß’sche zahlenebene Ein Hindernis in der Anerkennung der komplexen Zahlen war zunächst, dass man mit ihnen wenig anschauliche vorstellungen verbinden konnte. Während man die reellen Zahlen als Punkte oder Pfeile auf einer Zahlengeraden veranschaulichen konnte, fehlte zunächst eine anschauliche Darstellung für komplexe Zahlen. Eine solche veranschaulichung wurde jedoch von mehreren Mathematikern im 18. und 19. Jahrhundert entwickelt und vor allem von carl Friedrich gauß (1777–1855) verbreitet. Die Grundidee dieser veranschaulichung ist einfach. Eine komplexe Zahl a + bi ist völlig bestimmt durch die beiden reellen Zahlen a und b. Man kann also jede komplexe Zahl a + bi durch das Zahlenpaar (a 1 b) beschreiben. Ein solches Zahlenpaar kann man als Punkt P in einem Koordinatensystem darstellen (siehe nebenstehende Abbildung). Statt eines Punktes kann man auch einen von O zu P gehenden Pfeil zeichnen. Die Ebene bezeichnet man in diesem Zusammenhang als gauß’sche zahlenebene oder komplexe zahlenebene. Die Addition und vervielfachung komplexer Zahlen entsprechen den jeweiligen Rechenoperationen mit vektoren in R2 und lassen sich ebenfalls in der Gauß’schen Zahlenebene darstellen. addition: komplexe Zahlen: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Zahlenpaare: (a 1 b) + (c 1 d) = (a + c 1 b + d) vervielfachung (mit r * R): komplexe Zahlen: r · (a + bi) = (r · a) + (r · b)i Zahlenpaare: r · (a 1 b) = (r · a 1 r · b) Die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen und deren Rechenoperationen hat in der Geschichte der Mathematik dazu beigetragen, die Existenz der komplexen Zahlen anzuerkennen. Schließlich sind Punkte und Pfeile vertraute Objekte. aufgaBen 12 . 30 Stelle die komplexe Zahl z als Punkt und als Pfeil in der Gauß’schen Zahlenebene dar! a) z = 3 + 2i c) z = – 2 – 3i e) z = 6 g) z = –7 b) z = – 4 + 5i d) z = 5 – 4i f) z = 5i h) z = –6i 12 . 31 Gegeben sind die komplexen Zahlen z 1= 4 + 2i, z 2= – 3 + i, z 3= – 2 – 5i, z 4= 4 – 4i und z 5= 5i. Konstruiere als Punkt und Pfeil in der Gauß’schen Zahlenebene: a) z 1+ z 2 b) z 1– z 4 c) (z 1+ z 3) + z 5 d) 2z 2 e) z 3– (z 4+ z 5) f) 2z 2– (z 3– z 4) L carl Friedrich gauß (1777 – 1855) kompakt Seite 250 reelle Achse 0 imaginäre Achse a b P reelle Achse imaginäre Achse (a + bi) + (c + di) c + di a + bi reelle Achse imaginäre Achse r · (a + bi) a + bi L Ó lernapplet 8h76sz Ó lernapplet y999w8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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