237 12 . 3 gleichungslösen mi t kompleXen zahlen Satz Eine quadratische gleichung x 2+ px + q = 0 mit p, q * R und der Diskriminante D = 2 p _ 2 3 2– q hat zwei reelle zahlen als Lösungen, wenn D > 0, genau eine reelle zahl als Lösung, wenn D = 0, zwei konjugiert komplexe zahlen als Lösungen, wenn D < 0. In allen drei Fällen gilt: x 2+ px + q = 0 É x = – p _ 2± 9 ____ 2 p _ 2 3 2– q lösen kubischer gleichungen Der italienische Mathematiker Scipione del Ferro (1465–1526) entdeckte als Erster eine Möglichkeit zur Lösung kubischer Gleichungen. Fast zeitgleich entwickelte Niccolò tartaglia (ca. 1500 –1557) eine entsprechende Lösungsformel. Diese teilte er Gerolamo Cardano mit, der sie dann zum Leidwesen Tartaglias unter seinem eigenen Namen veröffentlichte. Satz (Formel von cardano) Eine Lösung der kubischen Gleichung x 3+ px + q = 0 lautet: x = 3 9________ 9 __ __ ( p _ 3 ) 3+ ( q _ 2 ) 2 – q _ 2– 3 9________ 9 ______ ( p _ 3 ) 3+ ( q _ 2 ) 2 + q _ 2 Beispiel : x3 – 6x + 4 = 0 Nach der Cardano’schen Lösungsformel lautet eine Lösung dieser Gleichung: x = 3 9______ 9__ – 8 + 4– 2– 3 9______ 9__ – 8 + 4+ 2= 3 9____ 9_ – 4– 2– 3 9____ 9_ – 4+ 2= 3 9____ – 2 + 2i – 3 9___ 2 + 2i von den möglichen dritten Wurzeln wählen wir 3 9____ – 2 + 2i = 1 + i und 3 9___ 2 + 2i = –1 + i, weil (1 + i) 3= – 2 + 2i und (– 1 + i) 3= 2 + 2i ist. (Rechne nach!) Damit erhalten wir eine Lösung der Gleichung: x = (1 + i) – (–1 + i) = 2 ProBe : 2 3– 6 · 2 + 4 = 0 Wir erkennen: Während im verlauf der Rechnung die „zweifelhaften“ komplexen Zahlen auftreten, ergibt sich am Schluss eine gewöhnliche reelle Zahl, die laut Probe tatsächlich eine Lösung der Gleichung ist. Für Cardano reichte dies zwar nicht aus, die komplexen Zahlen anzuerkennen, doch wurde vielen Mathematikern der damaligen Zeit bewusst, dass die komplexen Zahlen zumindest ein nützliches Instrument zum Lösen mancher Gleichungen sind. lösen algebraischer gleichungen vom grad n Eine algebraische Gleichung vom Grad n hat die Form: anx n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a0 = 0 (mit an , an – 1 , … a0 * R und an ≠ 0) Wir wissen schon, dass eine solche Gleichung höchstens n reelle Lösungen haben kann (siehe Seite 11). Aber hat sie immer mindestens eine reelle Lösung? Die Antwort lautet: Nein! So hat zB die Gleichung x2 + 1 = 0 keine reelle Lösung. Diese Gleichung hat jedoch zwei komplexe Lösungen, nämlich x = i und x = – i. Allgemein gilt: Satz (Fundamentalsatz der algebra) Jede algebraische gleichung vom grad n mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe lösung. L L kompakt Seite 250 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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