236 12 KompleXe zahlen 12 . 3 gleichungslösen mit kompleXen zahlen Quadratwurzeln aus negativen zahlen Die Gleichung x 2= 9 hat die Lösungen x = 3 und x = –3, denn es gilt 3 2 = 9 und (– 3) 2= 9. Man kann zeigen, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Früher hat man beide Lösungen mit 9_ 9 bezeichnet. Um das Wurzelsymbol jedoch eindeutig zu machen, bezeichnet man heute nur die positive Lösung als Quadratwurzel aus 9. Die Gleichung x 2= – a (mit a * ℝ +) hat die Lösungen x = 9_ a· i und x = – 9_ a· i, denn es gilt 2 9_ a· i 3 2= a · i 2= a · (–1) = – a und 2 – 9_ a· i 3 2= a · i 2= a · (–1) = – a. Man kann zeigen, dass es keine weiteren Lösungen dieser Gleichung gibt. In der Mathematik werden im Allgemeinen beide Lösungen als Quadratwurzel aus –a bezeichnet. Um aber das Wurzelsymbol auch in diesem Fall eindeutig zu machen, vereinbaren wir, im Folgenden nur die erste Lösung als Quadratwurzel aus – a zu bezeichnen. vereinbarung: Für a * ℝ +setzen wir 9__ –a= 9_ a· i, insbesondere 9__ –1= i. lösen quadratischer gleichungen Eine quadratische Gleichung der Form x 2+ px + q = 0 oder ax 2+ bx + c = 0 konnten wir bisher nur lösen, wenn die Diskriminante nicht negativ war. Akzeptiert man jedoch komplexe Zahlen als Lösungen einer quadratischen Gleichung, so ist diese voraussetzung hinfällig. Wir untersuchen dazu nochmals die möglichen Lösungsfälle einer quadratischen Gleichung der Form x 2+ px + q = 0. Wir bringen die Gleichung zuerst auf die Form: x2 + px + 2 p _ 2 3 2= 2 p _ 2 3 2– q Setzen wir 2 p _ 2 3 2– q = D (Diskriminante), dann lautet die Gleichung: 2 x + p _ 2 3 2= D Wir unterscheiden nun drei Fälle: 1. Fall: D > 0 x + p _ 2= 9_ D = x + p _ 2= – 9_ D x = – p _ 2+ 9_ D = x = – p _ 2– 9_ D Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen. 2. Fall: D = 0 x + p _ 2 = 0, also x = – p _ 2 Die Gleichung hat genau eine reelle Lösung. 3. Fall: D < 0 x + p _ 2= 9_ D = x + p _ 2= – 9_ D x + p _ 2= 9__ –D· i = x + p _ 2= – 9__ –D· i x = – p _ 2+ 9__ –D· i = x = – p _ 2– 9__ –D· i Die Gleichung hat zwei konjugiert komplexe Lösungen. L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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