234 12 KompleXe zahlen 12 . 2 rechnen mit kompleXen zahlen addieren, Multiplizieren und Dividieren Ein erster Schritt zur Anerkennung der komplexen Zahlen in der Geschichte der Mathematik war die Erkenntnis, dass man mit diesen Zahlen ähnlich wie mit den reellen Zahlen rechnen kann, wenngleich die Existenz der komplexen Zahlen nach wie vor zweifelhaft blieb. In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns damit, wie man mit komplexen Zahlen rechnet. verwendet man die üblichen Rechenregeln, dann kann man mit komplexen Zahlen die vier Grundrechenarten ausführen: addieren und Subtrahieren: Man addiert bzw. subtrahiert die Realteile und die Imaginärteile der beiden komplexen Zahlen. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Multiplizieren: (a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci + bd · (–1) = (ac – bd) + (ad + bc)i Dividieren: Wir stellen die Division in Bruchform dar und erweitern den Bruch mit (c – di). a + bi _ c + di = (a + bi)(c – di) __ (c + di)(c – di) = ac + bci – adi – bdi2 ___ c2 + d2 = ac + bci – adi + bd ___ c2 + d2 = ac + bd __ c2 + d2 + bc – ad __ c2 + d2 · i Dabei muss c + di ≠ 0 vorausgesetzt werden (das ist genau dann der Fall, wenn c ≠ 0 = d ≠ 0 bzw. c2 + d2 ≠ 0). 12 . 05 Berechne Summe, Differenz, Produkt und Quotient der komplexen Zahlen 3 + 2i und 5 – 4i! lösung: (3 + 2i) + (5 – 4i) = (3 + 5) + (2 – 4)i = 8 – 2i (3 + 2i) – (5 – 4i) = (3 – 5) + (2 + 4)i = – 2 + 6i (3 + 2i) · (5 – 4i) = 15 + 10i – 12i – 8i2 = 15 + 10i – 12i – 8 · (–1) = (15 + 8) + (10 – 12)i = 23 – 2i 3 + 2i _ 5 – 4i = (3 + 2i)(5 + 4i) __ (5 – 4i)(5 + 4i) = 15 + 10i + 12i + 8i2 ___ 25 – 16i2 = (15 – 8) + (10 + 12)i ___ 25 – 16 · (–1) = 7 + 22i _ 41 = 7 _ 41 + 22 _ 41i Definition: Die Zahlen a + bi und a – bi nennt man konjugiert komplexe zahlen. Für die konjugiert komplexen Zahlen a + bi und a – bi gilt: (a + bi) + (a – bi) = 2a (a + bi) – (a – bi) = 2bi (a + bi) · (a – bi) = a 2– b 2· i 2= a 2+ b 2 Es gilt also: Die Summe zweier konjugiert komplexer Zahlen ist eine reelle Zahl. Die Differenz zweier konjuguert komplexer Zahlen ist eine imaginäre Zahl. Das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen ist eine reelle Zahl. aufgaBen 12 . 06 Berechne: a) (3 + 2i) + (2 + 6i) c) (– 4 + 5i) + (2 – 7i) e) (– 6 + i) + (– 2 – 6i) g) (3 – 2i) – (3 – 2i) b) (9 + 8i) – (6 + 5i) d) (3 + 2i) – (3 – 2i) f) (3 + 2i) – (– 3 + 2i) h) (3 + 2i) – (3 + 2i) L kompakt Seite 250 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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