233 12 .1 reelle , imaginÄre und kompleXe zahlen Cardano akzeptierte die Ausdrücke 5 + 9__ – 5und 5 – 9__ – 5nicht als Lösungen der Aufgabe, weil er sich nicht vorstellen konnte, dass es Zahlen gibt, deren Quadrate negativ sind. Er stellte jedoch etwas Merkwürdiges fest: Obwohl diese Ausdrücke keine „wirklichen“ Zahlen sind, verhalten sie sich wie Zahlen, was die Probe zeigt: (5 + 9__ – 5) + (5 – 9__ – 5) = 10 (5 + 9__ – 5) · (5 – 9__ – 5) = 25 – ( 9__ – 5) 2= 25 – (– 5) = 30 gibt es vielleicht doch zahlen, deren Quadrate negativ sind? Fragen wir zunächst: Gibt es eine Zahl, deren Quadrat gleich –1 ist? Wenn es eine solche „Zahl“ gibt und wir sie mit i bezeichnen, dann würde gelten: i 2= –1. Falls es diese „Zahl“ i tatsächlich gibt, kann man weitere „Zahlen“ bilden, deren Quadrate negativ sind (zumindest dann, wenn man voraussetzt, dass man nach den üblichen Rechenregeln rechnen darf). Beispiele : (3 · i)2 = 32 · i2 = 9 · (–1) = – 9 ( 9_ 2· i)2 = ( 9_ 2)2 · i2 = 2 · (–1) = – 2 (b · i)2 = b2 · i2 = b2 · (–1) = –b2 (b * R*) Allgemein kann man „Zahlen“ der Form a + b · i (mit a, b * R) bilden. Dabei sind folgende Bezeichnungen üblich: Die Zahl i nennt man imaginäre einheit. Die Zahlen der Form b · i (mit b * R) nennt man imaginäre zahlen. Die Zahlen der Form a + b · i (mit a, b * R) nennt man komplexe zahlen. Man bezeichnet a als realteil und b als imaginärteil der komplexen Zahl a + b · i. Die Menge der komplexen zahlen wird mit C bezeichnet. Jede imaginäre Zahl b · i lässt sich auch als komplexe Zahl anschreiben: b · i = 0 + b · i Ebenso lässt sich jede reelle Zahl a als komplexe Zahl anschreiben: a = a + 0 · i Falls es die Menge der komplexen Zahlen überhaupt gibt, umfasst sie also die Menge der reellen Zahlen, dh. es gilt: ℝ ² ℂ. Cardano war nicht bereit, die Existenz komplexer Zahlen anzuerkennen. Auch spätere Mathematiker hatten damit ihre Probleme. Die Anerkennung der komplexen Zahlen als Zahlen war historisch ein langer Weg, der bis ins 20. Jahrhundert hinein reichte und in mehreren Etappen verlief. Diese wollen wir in den folgenden Abschnitten nachvollziehen. aufgaBen 12 . 02 Die Zahl 16 ist so in zwei Summanden zu zerlegen, dass deren Produkt 1) 39, 2) 70 ist. Gehe analog zur Aufgabe 12.01 vor und führe die Probe durch! 12 . 03 Berechne: a) – i 2 b) (– i) 2 c) – i 3 d) (– i) 3 e) – i 4 f) (– i) 4 g) – i 5 h) (– i) 5 i) (3i) 2 j) (– 5i) 2 12 . 04 1) Berechne i0, i1, i2, i3, i4, i5, i6, i7, i8, i9, i10, i11, i12, i13! 2) Gib an, welche Werte i n(mit n * N) annehmen kann! Gib einen Zusammenhang zwischen n und i nan! 3) Berechne i40, i81, i122, i163 mit Hilfe des in 2) erkannten Zusammenhangs! R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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