232 12 KOMPLEXE ZAhLEN lerNz iele 12 .1 Die komplexen zahlen in der Form a + b · i kennen. 12 . 2 Mit komplexen zahlen rechnen können. 12 . 3 Mit komplexen zahlen gleichungen lösen können. 12 . 4 Komplexe zahlen geometrisch in der gauß’schen zahlenebene darstellen können. 12 . 5 Komplexe zahlen als zahlenpaare mit bestimmten Rechenoperationen auffassen können. 12 . 6 Die komplexen zahlen in der Polardarstellung r · (cos φ + i · sin φ) kennen und mit dieser Darstellung rechnen können. 12 . 7 historisches zu den zahlbereichen technologie kompakt Kompetenzcheck grUNDKoMPeteNzeN Wissen über die zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und ℂ verständig einsetzen können. Komplexe zahlen in der gauß’schen zahlenebene darstellen und mit komplexen zahlen rechnen können. Den Fundamentalsatz der algebra kennen und seine Bedeutung bei der Zahlenbereichserweiterung von ℝ auf ℂ erläutern können. 12 .1 reelle, imaginÄre und kompleXe zahlen gibt es Wurzeln aus negativen zahlen? Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl kann keine reelle Zahl sein, weil das Quadrat jeder reellen Zahl nicht negativ ist. Der italienische Mathematiker gerolamo cardano (1501 –1576) stellte jedoch die folgende Aufgabe, in der Wurzeln aus negativen Zahlen auftreten: 12 . 01 Die Zahl 10 ist so in zwei Summanden zu zerlegen, dass deren Produkt 1) 24, 2) 30 ist. lösung: Wenn wir den einen Summanden mit x bezeichnen, ist der andere 10 – x. 1) x · (10 – x) = 24 x2 – 10x + 24 = 0 x = 4 = x = 6 Die Summanden sind 4 und 6. ProBe : 4 + 6 = 10 und 4 · 6 = 24 2) x · (10 – x) = 30 x2 – 10x + 30 = 0 x = 5 + 9__ – 5 = x = 5 – 9__ – 5 Da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist, hat diese quadratische Gleichung keine Lösung. Die Zahl 10 kann also nicht in zwei Summanden zerlegt werden, deren Produkt 30 ist. ag-r 1 .1 ag- l 1 . 5 ag- l 2 . 8 R gerolamo cardano (1501 –1576) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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