23 2 . 2 geometrische Deutungen des Di FFerenzen- und Di FFerent ialQuot ienten vorzeichen des Differenzenquotienten Ist [a; b] ein Intervall, dann gilt b – a > 0 und somit gilt: f(b) – f(a) __ b – a > 0 É f(b) – f(a) > 0 É f(a) < f(b) É É Sekantenfunktion streng monoton steigend in [a; b] É f steigt im „Endeffekt“ in [a; b] (muss aber in [a; b] nicht monoton steigend sein). Man sagt auch: f steigt im Mittel in [a; b]. f(b) – f(a) __ b – a < 0 É f(b) – f(a) < 0 É f(a) > f(b) É É Sekantenfunktion streng monoton fallend in [a; b] É f fällt im „Endeffekt“ in [a; b] (muss aber in [a; b] nicht monoton fallend sein). Man sagt auch: f fällt im Mittel in [a; b]. f(b) – f(a) __ b – a = 0 É f(b) – f(a) = 0 É f(a) = f(b) É É Sekantenfunktion konstant in [a; b] É f ist im „Endeffekt“ in [a; b] weder wachsend noch fallend (muss aber in [a; b] nicht konstant sein). zwei auffassungen des Differenzenquotienten In der nebenstehenden Abbildung sind eine reelle Funktion f und die zugehörige Sekantenfunktion s in einem Intervall [a; b] dargestellt. Der Differenzenquotient f(b) – f(a) __ b – a ist gleich der Steigung k der Sekantenfunktion s. Man erkennt an der Abbildung, dass diese Steigung k auf zwei Arten aufgefasst werden kann: k = f(b) – f(a) __ b – a , dh. k ist gleich dem verhältnis der Änderung der Funktionswerte von f zur Änderung der Argumente. k = Änderung der Funktionswerte von s bei Zunahme von x um 1 = = mittlere Änderung der Funktionswerte von f bei Zunahme von x um 1. Wir fassen zusammen: Merke Ein Differenzenquotient f(b) – f(a) __ b – a kann aufgefasst werden als verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [a; b], mittlere (durchschnittliche) Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b]. R a b f b – a f (b) – f (a) f (a) f (b) a b b – a †f (b) – f (a)† f (b) f (a) f a b b – a f (b) f (a) f R Ó lernapplet i7hp72 s a x x + 1 b 2. A. f (a) f (b) 1. A. 1 k f f(b) – f (a) b – a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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