227 11 . 3 Wei tere diskrete Wahrscheinl ichkei tsvertei lungen Da man anstelle der Eigenschaften „rot“ und „blau“ eine beliebige Eigenschaft E und ihr Gegenteil ¬E zugrundelegen kann, gilt allgemein: satz In einer Menge von N Objekten haben M Objekte die Eigenschaft E und N – M Objekte die Eigenschaft ¬E . Aus der Menge der N Objekte werden n Objekte zufällig ausgewählt. Ist h die absolute häufigkeit der dabei erhaltenen Objekte mit der Eigenschaft E, dann gilt: P(H = k) = 2 M k 3· 2 N – M n – k 3 __ 2 N n 3 Definition Sei h eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten 0, 1, 2, …, N. Wird jedem Wert k die Wahrscheinlichkeit P(h = k) = 2 M k 3· 2 N – M n – k 3 __ 2 N n 3 (mit 1 ª M ª N, 1 ª n ª N, 0 ª k ª n, n – k ª N – M) zugeordnet, dann bezeichnet man die dadurch festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung als hypergeometrische verteilung mit den Parametern N, M und n. Die Zufallsvariable h nennt man hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, M und n. Damit können wir die Merksätze auf Seite 220 in folgender Weise erweitern: Merke Entspricht eine Versuchsserie einem mehrmaligen ziehen mit zurücklegen, so ist die untersuchte häufigkeit h exakt binomialverteilt und es gilt: P(h = k) = 2 n k 3· p k· (1 – p) n – k Entspricht eine Versuchsserie einem mehrmaligen ziehen ohne zurücklegen und ist die stichprobe klein im Vergleich zur Grundgesamtheit, so ist die untersuchte häufigkeit h annähernd binomialverteilt und es gilt: P(h = k) ≈ 2 n k 3· p k· (1 – p) n – k. Entspricht eine Versuchsserie einem mehrmaligen ziehen ohne zurücklegen und ist die stichprobe nicht klein im vergleich zur grundgesamtheit, so ist die untersuchte häufigkeit h hypergeometrisch verteilt und es gilt: P(h = k) = 2 M k 3· 2 N – M n – k 3 __ 2 N n 3 Man kann beweisen: satz: Für eine hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable h mit den Parametern N, M und n gilt: e(H) = μ = n · M _ N v(H) = σ 2 = n · M _ N· 2 1 – M _ N 3 · N – n _ N – 1 Aufgaben 11 . 69 In einer Urne sind 15 Gewinnlose und 5 Nieten. Es werden 8 Lose blind entnommen. a) Wie viele Gewinnlose sind dabei zu erwarten? b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dabei genau vier Gewinnlose zu erhalten! c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dabei sechs Gewinnlose und zwei Nieten zu erhalten! 11 . 70 Die 7a-Klasse besuchen 10 Schülerinnen und 10 Schüler. Für einen Kompetenzcheck werden acht Klassenmitglieder zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass auch die Stichprobe gleiche viele Schülerinnen wie Schüler enthält! L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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