226 11 Die Binomialvertei lung und wei tere vertei lungen Die hypergeometrische verteilung Einen Tipp beim Lotto „6 aus 45“ erhält man durch Ankreuzen von sechs Zahlen aus der Menge {1, 2, 3, …, 45} auf einem Wettschein. Bei der Lotto-Ziehung werden dann die sechs Gewinnzahlen ermittelt. Die getippten Zahlen, die mit den Gewinnzahlen übereinstimmen, nennen wir „Treffer“. 11 . 66 Oskar gibt bei einer Runde des österreichischen Lottos „6 aus 45“ einen Tipp ab. Er kreuzt sechs Zahlen an. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er sechs Treffer hat! lösung: Die sechs Zahlen von Oskars Tipp bilden eine sechselementige Teilmenge der Menge {1, 2, 3, …, 45}. Es gibt 2 45 6 3= 8145060 solche Teilmengen. Da alle diese Teilmengen gleich wahrscheinlich sind, besitzt das Ereignis, dass gerade die von Oskar angegebene Teilmenge bei der Lottoziehung auftritt, die Wahrscheinlichkeit 1 __ 8145060 ≈ 0,000000123. 11 . 67 Julia gibt bei einer Runde des Lottos „6 aus 45“ ebenfalls einen Tipp ab. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie unter den sechs angekreuzten Zahlen genau vier Treffer hat! lösung: Es gibt insgesamt 2 45 6 3mögliche Tipps. Julia hat genau vier Treffer und zwei Nichttreffer, wenn ihr Tipp vier der sechs ermittelten Gewinnzahlen und zwei der 39 verbleibenden Zahlen enthält. Die 4 Treffer können auf 2 6 4 3Arten, die 2 Nichttreffer auf 2 39 2 3Arten auftreten. Da jede der 2 6 4 3Arten für die Treffer mit jeder der 2 39 2 3Arten für die Nichttreffer kombiniert werden kann, gibt es nach der Produktregel 2 6 4 3· 2 39 2 3Tipps mit genau 4 Treffern. Die Wahrscheinlichkeit, dass Julias Tipp genau 4 Treffer enthält, beträgt daher 2 6 4 3· 2 39 2 3 __ 2 45 6 3 = 15 · 741 __ 8145060 ≈ 0,00136. 11 . 68 In einer Urne sind N Kugeln, von denen M rot und N – M blau sind. Aus der Urne werden n Kugeln zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den gezogenen Kuglen genau k rote Kugeln befinden! lösung: Es gibt insgesamt 2 N n 3mögliche Auswahlen von n Kugeln aus der Urne. Bei einer Auswahl erhält man genau k rote Kugeln, wenn k Kugeln rot und n – k Kugeln blau sind. Die k roten Kugeln können auf 2 M k 3Arten, die n – k blauen Kugeln auf 2 N – M n – k 3Arten erhalten werden. Da jede der 2 M k 3Arten für die roten Kugeln mit jeder der 2 N – M n – k 3Arten für die blauen Kugeln kombiniert werden kann, gibt es nach der Produktregel 2 M k 3· 2 N – M n – k 3mögliche Auswahlen mit genau k roten Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, genau k rote Kugeln zu erhalten, beträgt daher 2 M k 3· 2 N – M n – k 3 __ 2 N n 3 . L kompakt seite 228 N ‒ M blaue Kugeln M rote Kugeln n ‒ k blaue Kugeln k rote Kugeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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