225 11 . 3 Wei tere diskrete Wahrscheinl ichkei tsvertei lungen 11 . 3 Weitere diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Die geometrische verteilung 11 . 64 Im nebenstehend abgebildeten Glücksrad bleibt der Zeiger im roten Sektor mit der Wahrscheinlichkeit p und im blauen Sektor mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p stehen. Das Glücksrad wird mehrmals gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger zum ersten Mal a) bei der dritten Drehung, b) bei der k-ten Drehung im roten Sektor stehen bleibt? lösung: Wir zeichnen das nebenstehende Baumdiagramm, das man sich ohne Ende fortgesetzt denken kann. Ist h die häufigkeit der erforderlichen Drehungen bis zum ersten Stillstand des Zeigers im roten Sektor, dann gilt: a) P(h = 3) = (1 – p) · (1 – p) · p = (1 – p) 2· p b) P(h = k) = (1 – p) · (1 – p) ·…· (1 – p) · p = (1 – p) k – 1· p 122222222222222222342222222222222225 (k – 1) gleiche Faktoren satz Bei einem Zufallsversuch tritt ein Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit p ein. Der Versuch wird n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Ist h die Anzahl der Versuchsdurchführungen bis zum erstmaligen Eintreten von E, dann gilt: P(H = k) = (1 – p) k – 1· p (für k = 1, 2, 3, …) Definition Sei h eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten 1, 2, 3, …. Wird jedem Wert k * ℕ* die Wahrscheinlichkeit P(H = k) = (1 – p) k – 1· p zugeordnet, dann bezeichnet man die dadurch festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung als geometrische verteilung mit dem Parameter p. Die Zufallsvariable h nennt man geometrisch verteilt mit dem Parameter p. Formeln für Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung geben wir ohne Beweis an: satz: Für eine geometrisch verteilte Zufallsvariable h mit dem Parameter p gilt: e(H) = μ = 1 _ p v(H) = σ 2 = 1 – p _ p 2 Aufgaben 11 . 65 Beim Spiel „Mensch ärgere dich nicht“ darf man mit dem eigenen Spielstein erst ins Spiel kommen, wenn man einen Sechser würfelt. Dazu hat man drei Versuche. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dies a) bereits beim ersten Wurf b) erst beim zweiten Wurf, c) erst beim dritten Wurf, d) nicht gelingt! Wie viele Würfe wären zu erwarten? L kompakt seite 228 p 1 ‒ p r b 1. Drehung p 1 ‒ p 2. Drehung 3. Drehung r b p 1 ‒ p r b p 1 ‒ p L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv
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