224 11 Die Binomialvertei lung und wei tere vertei lungen Aufgaben 11 . 56 Fußball-Toto kann in Österreich zweimal wöchentlich gespielt werden. Pro Toto-Runde stehen 18 Spiele auf dem Toto-Schein. Für die ersten fünf Spiele muss jeweils ein Tipp abgegeben werden. Von den restlichen Spielen müssen acht ausgewählt und getippt werden. Als Tippmöglichkeiten stehen zur Verfügung: 1 (heimmannschaft gewinnt) 2 (Gastmannschaft gewinnt) X (Spiel endet unentschieden) Max füllt einen Totoschein korrekt, aber völlig zufällig aus. Berechne, wie viele richtige Tipps er auf seinem Totoschein erwarten kann! 11 . 57 Es wird 20-mal gewürfelt. h ist die Anzahl der dabei erhaltenen Sechser. 1) Berechne den Erwartungswert μ, die Varianz σ 2und die Standardabweichung σ von h! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass h größer als μ + σ ist! 11 . 58 Eine Münze wird sechsmal geworfen. h ist die dabei erhaltene absolute häufigkeit von „Zahl“. 1) Berechne den Erwartungswert μ, die Varianz σ 2und die Standardabweichung σ von h! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass h kleiner als μ – σ ist! 11 . 59 Ein Roulettespieler setzt 20-mal hintereinander auf „Rot“. h ist die absolute häufigkeit, mit der „Rot“ dabei eintritt. 1) Berechne den Erwartungswert μ, die Varianz σ 2und die Standardabweichung σ von h! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass μ – σ ª h ª μ + σ ist! 11 . 60 Eine Maschine produziert Elektronikbauteile mit 10% Ausschussanteil. Der Produktion werden zufällig 20 Bauteile entnommen. h ist die absolute häufigkeit der Ausschussstücke in der Stichprobe. 1) Berechne den Erwartungswert μ, die Varianz σ 2und die Standardabweichung σ von h! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass h außerhalb des Intervalls [μ – σ; μ + σ] liegt! 11 . 61 In einer Grundgesamtheit von 10000 Losen befinden sich 75% Nieten. Jemand zieht 20 Lose. h ist die dabei erhaltene absolute häufigkeit der Nieten. 1) Berechne den Erwartungswert μ, die Varianz σ 2und die Standardabweichung σ von h! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass h um 1 kleiner ist als μ! 11 . 62 Die Energiesparlampenproduktion eines Leuchtmittelherstellers enthält erfahrungsgemäß 12% „Montagslampen“, dh. Lampen mit deutlich kürzerer Lebensdauer. 1) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der „Montagslampen“ in einer Stichprobe von 20 zufällig ausgewählten Lampen größer als μ + σ ist! 2) Wie viele Lampen müsste die Stichprobe enthalten, um in ihr mit mehr als 95%iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine „Montagslampe“ zu finden? 11 . 63 Die Zufallsvariable h ist binomialverteilt mit den Parametern n und p. Zeige: μ ª n und σ 2 ª n _ 4 Hinweis : Ermittle den größtmöglichen Wert der Funktion f mit f(p) = p · (1 – p) im Intervall [0; 1]! R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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