223 11 . 2 Die Binomialvertei lung Aufgaben 11 . 53 Zeige: Für p = 0,5 gilt P(h = k) = P(h = n – k) für alle k mit 0 ª k ª n. Dh. eine Binomialverteilung mit p = 0,5 ist symmetrisch. 11 . 54 In den folgenden Tabellen sind fünf Binomialverteilungen A, B, C, D und E mit n = 4 dargestellt, wobei P(h = k) jeweils auf vier Nachkommastellen gerundet wurde. Ordne die Verteilungen nach steigenden Werten des Parameters p! A B C D E k P(H = k) k P(H = k) k P(H = k) k P(H = k) k P(H = k) 0 0,0016 0 0,1296 0 0,0256 0 0,0625 0 0,4096 1 0,0256 1 0,3456 1 0,1536 1 0,2500 1 0,4096 2 0,1536 2 0,3456 2 0,3456 2 0,3750 2 0,1536 3 0,4096 3 0,1536 3 0,3456 3 0,2500 3 0,0256 4 0,4096 4 0,0256 4 0,1296 4 0,0625 4 0,0016 erwartungswert und varianz einer binomialverteilten zufallsvariablen 11 . 55 Es sei h eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p. Berechne den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 von h für 1) n = 2, 2) n = 3! lösung: 1) Die Zufallsvariable h kann die Werte 0, 1, 2 annehmen. Wir berechnen zuerst: p0 = P(h = 0) = 2 2 0 3· p 0 · (1 – p)2 = (1 – p)2 p1 = P(h = 1) = 2 2 1 3· p 1 · (1 – p)1 = 2p(1 – p) p2 = P(h = 2) = 2 2 2 3· p 2 · (1 – p)0 = p2 Damit ergibt sich: μ = 0 · p0 + 1 · p1 + 2 · p2 = 2p(1 – p) + 2p 2 = 2p σ 2 = [02 · p 0 + 1 2 · p 1 + 2 2 · p 2] – μ 2 = [2p(1 – p) + 4p2] – 4p2 = 2p(1 – p) 2) Die Zufallsvariable h kann die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. Zeige selbst: p0 = P(h = 0) = (1 – p) 3, p 1 = P(h = 1) = 3p(1 – p) 2, p 2 = P(h = 2) = 3p 2 (1 – p), p 3 = P(h = 3) = p 3 Damit erhält man: μ = 0 · p0 + 1 · p1 + 2 · p2 + 3 · p3 = 3p(1 – p) 2 + 6p2 (1 – p) + 3p3 = 3p σ 2 = [02 · p 0 + 1 2 · p 1 + 2 2 · p 2 + 3 2 · p3] – μ2 = [3p(1 – p)2 + 12p2 (1 – p) + 9p3] – 9p2 = 3p(1 – p) Die letzte Aufgabe führt zur Vermutung, dass für eine binomialverteilte Zufallsvariable h mit den Parametern n und p gilt: μ = n · p und σ 2= n · p · (1 – p) Diese Vermutung lässt sich beweisen. satz Ist h eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p, dann gilt für den erwartungswert μ und die varianz σ 2 von h: μ = E(H) = n · p, σ 2 = V(H) = n · p · (1 – p) R R kompakt seite 228 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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