222 11 Die Binomialvertei lung und wei tere vertei lungen typische Formen von Binomialverteilungen In den folgenden Abbildungen sind fünf Binomialverteilungen mit n = 7 dargestellt. Man sieht: Für p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch, für p < 0,5 überwiegen die häufigkeiten weiter links, für p > 0,5 jene weiter rechts. p = 0,12 p = 0,33 p = 0,5 p = 0,66 p = 0,88 Eine Binomialverteilung mit p = 0,5 kann man näherungsweise durch ein galton-Brett visualisieren (benannt nach Francis Galton, 1822–1911). Dieses besteht aus einem senkrecht aufgestellten Brett, in das Nägel (oder andere hindernisse) geschlagen sind. An der Spitze wird eine Kugel losgelassen. Diese trifft in jeder Schicht auf genau einen Nagel und wird dabei nach rechts oder nach links abgelenkt. Nach der n-ten Schicht (beginnend mit n = 0) landet die Kugel in einem der Fächer, die mit den Nummern 0, 1, 2, …, n beschriftet sind. Francis galton (1822–1911) Der Zufallsversuch besteht hier aus dem Fallenlassen der Kugel auf einen Nagel. Dieser Versuch wird n-mal (in jeder Schicht) unter den gleichen Bedingungen wiederholt. Dabei erfährt die Kugel jedes Mal mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,5 eine Rechtsablenkung. Die Wahrscheinlichkeit, genau k Rechtsablenkungen zu erfahren und damit im k-ten Fach zu landen, ist somit gleich 2 n k 3· 0,5k · 0,5n – k. Wenn man sehr viele Kugeln fallen lässt, ist die relative häufigkeit der Kugeln im k-ten Fach annähernd gleich dieser Wahrscheinlichkeit. Die Verteilung der Kugeln nimmt somit näherungsweise die Form einer Binomialverteilung mit den Parametern n und p = 0,5 an. R Ó lernapplet k3gh9y 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 P (h = k) k 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 P (h = k) k 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 P (h = k) k 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 P (h = k) k 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 P (h = k) k Fach Nägel Kugeln 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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