220 11 Die Binomialvertei lung und wei tere vertei lungen lösung: Es sei h die absolute häufigkeit der weißen Kugeln unter den 10 gezogenen Kugeln. a) Da nach jedem Zug zurückgelegt wird, wird der Versuch (Ziehen einer Kugel) stets unter gleichen Bedingungen durchgeführt. Somit ist h binomialverteilt mit n = 10 und p = 25 _ 500= 0,05. Wir erhalten: P(h = 2) = 2 10 2 3· 0,052 · 0,958 = 45 · 0,052 · 0,958 ≈ 0,075 b) Da nach den einzelnen Zügen nicht zurückgelegt wird, wird der Versuch (Ziehen einer Kugel) nicht jedes Mal unter genau den gleichen Bedingungen durchgeführt. Die Zufallsvariable h ist also nicht exakt binomialverteilt. Da aber die Stichprobe (Menge der gezogenen Kugeln) klein im Vergleich zur Grundgesamtheit (Menge aller Kugeln) ist, spielt es keine große Rolle, dass vor einem Zug schon einige Kugeln entnommen worden sind. Man kann also annehmen, dass h wenigstens näherungsweise binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,05 ist. Man erhält damit: P(H = 2) ≈ 2 10 2 3· 0,052 · 0,958 = 45 · 0,052 · 0,958 ≈ 0,075 Merke Entspricht eine Versuchsserie einem mehrmaligen ziehen mit zurücklegen, so ist die untersuchte häufigkeit h exakt binomialverteilt und es gilt: P(h = k) = 2 n k 3· p k· (1 – p) n – k Entspricht eine Versuchsserie einem mehrmaligen ziehen ohne zurücklegen und ist die stichprobe klein im vergleich zur grundgesamtheit, so ist die untersuchte häufigkeit h annähernd binomialverteilt und es gilt: P(H = k) ≈ 2 n k 3· p k· (1 – p) n – k Aufgaben 11 . 37 Ein Würfel wird viermal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl 6 a) nie, b) genau einmal, c) genau zweimal, d) genau dreimal, e) genau viermal kommt! 11 . 38 Max spielt beim Roulette nur so genannte „einfache Chancen“, das sind Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 18 _ 37(zum Beispiel „rouge“ oder „pair“). Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Max bei 8 Spielen a) nie, b) genau dreimal, c) genau sechsmal gewinnt! 11 . 39 An einem Automaten gewinnt man bei 30% aller Spiele. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man acht von a) 10 Spielen, b) 20 Spielen gewinnt! 11 . 40 Eine Münze wird 20-mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass „Zahl“ a) genau 10-mal, b) öfter als 16-mal, c) höchstens 3-mal, d) mindestens 4-mal, aber höchstens 6-mal kommt! 11 . 41 Zu Schuljahresbeginn macht Anja einen Wortschatz-Kurztest für Italienisch. Sie schätzt, dass sie 70% aller Vokabeln aus den vorhergehenden Lernjahren beherrscht. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Anja von den 10 präsentierten Testvokabeln mindestens 8 kennt! 11 . 42 Bei einer Prüfung sind 10 Fragen mit „ja“ oder „nein“ zu beantworten. Ein Schüler beantwortet die Fragen blind, dh. er wählt die Antwort „ja“ bzw. „nein“ jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,5. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er von 10gestellten Fragen a) mindestens 5, b) mindestens 7, c) alle 10 richtig beantwortet! 11 . 43 Einer Studie zufolge sollen ca. 40% der Menschen Linkshänder sein. Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit man demnach unter 20 zufällig ausgewählten Personen gleich viele Links- wie Rechtshänder finden würde! R Ó Arbeitsblatt xy2kt9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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