22 2 grundbegri FFe der Di FFerent ialrechnung 2 . 2 geometrische Deutungen des DiFFerenzen- und DiFFerentialQuotienten Differenzenquotient als sekantensteigung Wir untersuchen zuerst den Differenzen- und den Differentialquotient einer linearen Funktion. satz (1) Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) einer linearen Funktion f mit f(x) = k · x + d ist in jedem Intervall [a; b] gleich der Steigung k. (2) Der Differentialquotient einer linearen Funktion f mit f(x) = k · x + d ist an jeder Stelle x gleich der Steigung k. BeWeis : (1) f(b) – f(a) __ b – a = k · b + d – (k · a + d) ___ b – a = k · b – k · a __ b – a = k · (b – a) __ b – a = k (2) f ’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = lim z ¥ x k · z – k · x __ z – x = lim z ¥ x k · (z – x) __ z – x = lim z ¥ x k Für die Berechnung dieses Limes überlegen wir so: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl x, so bleibt die Zahl k stets unverändert. Dies kann man als einen Grenzfall des unbegrenzten Näherns auffassen. Wir erhalten somit: f’(x) = k Ist die Funktion f in [a; b] nicht linear, so betrachten wir die lineare Funktion s mit s(a) = f(a) und s(b) = f(b). Diese Funktion heißt sekantenfunktion von f in [a; b]. Der Graph von f verläuft oft in der Nähe des Graphen von s. Dies muss aber nicht immer der Fall sein. Ist k die Steigung der Sekantenfunktion s, dann gilt aufgrund des obigen Satzes: f(b) – f(a) __ b – a = s(b) – s(a) __ b – a = k Damit haben wir gezeigt: satz Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) einer Funktion f in [a; b] ist gleich der steigung der sekantenfunktion von f in [a; b]. Die Steigung k der Sekantenfunktion bezeichnet man auch als mittlere steigung von f in [a; b]. Im Intervall [a; b] kann die Steigung der Funktion f an manchen Stellen kleiner als die Steigung der Sekantenfunktion s, an manchen Stellen größer sein. Im Mittel hat f jedoch im Intervall [a; b] die Steigung k der Sekantenfunktion. Beispiel : f(x) = x2 (mit x * R 0 +) Die Steigung von f ist an der Stelle 0 gleich 0, nimmt aber mit wachsendem x zu. Die mittlere Steigung im Intervall [0; 2] beträgt f(2) – f(0) __ 2 – 0 = 22 – 02 _ 2 – 0 = 2. Dies ist die Steigung der Sekantenfunktion. R a b f b – a f (b) f (a) f (b) – f (a) b – a f (a) = s (a) f (b) = s (b) f (b) – f (a) = = s (b) – s (a) a b s f Ó lernapplet qy7af8 Ó lernapplet xr8y44 0 1 2 f (x) 1 2 3 4 x s f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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