219 11 . 2 Die Binomialvertei lung Bemerkung: Eine binomialverteilte Zufallsvariable wird oft mit X bezeichnet. In diesem Buch bevorzugen wir die Bezeichnung h, weil eine binomialverteilte Zufallsvariable bei allen Aufgaben zur Binomialverteilung als absolute häufigkeit aufgefasst werden kann. 11 . 34 Ein Würfel wird zehnmal geworfen. h die absolute häufigkeit der Augenzahl 6 bei diesen Würfen. Berechne die folgende Wahrscheinlichkeit: a) P(h = 3) b) P(h ª 1) c) P(h º 1) d) P(3 ª h ª 5) lösung: Der Versuch (Wurf des Würfels) wird zehnmal durchgeführt und bei jedem Versuch tritt die Augenzahl 6mit der Wahrscheinlichkeit 1 _ 6auf. Nach dem letzten Satz ist h somit binomialverteilt mit n = 10 und p = 1 _ 6. a) P(h = 3) = 2 10 3 3· 2 1 _ 6 3 3· 2 5 _ 6 3 7 ≈ 0,155 b) Da die Ereignisse h = 0 und h = 1 einander ausschließen, gilt: P(h ª 1) = P(h = 0 = h = 1) = P(h = 0) + P(h = 1) = = 2 10 0 3· 2 1 _ 6 3 0· 2 5 _ 6 3 10+ 2 10 1 3· 2 1 _ 6 3 1· 2 5 _ 6 3 9 ≈ 0,485 c) P(h º 1) = P(h = 1 = h = 2 = … = h = 10) = P(h = 1) + P(h = 2) + … + P(h = 10) Diese Rechnung ist aufwändig. Einfacher geht es so: P(h º 1) = 1 – P(h = 0) = 1 – 2 10 0 3· 2 1 _ 6 3 0· 2 5 _ 6 3 10 ≈ 0,838 d) P(3 ª h ª 5) = P(h = 3) + P(h = 4) + P(h = 5) = = 2 10 3 3· 2 1 _ 6 3 3· 2 5 _ 6 3 7+ 2 10 4 3· 2 1 _ 6 3 4· 2 5 _ 6 3 6+ 2 10 5 3· 2 1 _ 6 3 5· 2 5 _ 6 3 5 ≈ 0,222 11 . 35 Über eine elektronische Datenleitung wird ein Zeichen nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% fehlerfrei übertragen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer aus 100 Zeichen bestehenden Zeichenkette mindestens ein Zeichen fehlerhaft übertragen wird! lösung: Der Versuch (Übertragung eines Zeichens) wird 100-mal durchgeführt und bei jedem Versuch passiert mit der Wahrscheinlichkeit 0,02 ein Fehler. Die häufigkeit h der Fehler unter den 100 übertragenen Zeichen ist daher binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,02. Daraus folgt: P(h = 0) = 2 100 0 3· 0,02 0· 0,98 100 ≈ 0,133 P(H º 1) = 1 – P(H = 0) ≈ 1 – 0,133 = 0,867 Mit Technologieeinsatz können Wahrscheinlichkeiten der Form P(h = k), P(h ª k), P(h º k) oder P(a ª h ª b) ebenso ermittelt werden. Erforderlich ist dazu die Eingabe von n, p und k bzw. a und b. Auch kann die Verteilung von h durch ein Stabdiagramm dargestellt werden. Siehe dazu die genaueren Beschreibungen auf Seite 228! Für n = 10 und n = 20 und verschiedene Werte von p können die Wahrscheinlichkeiten P(h = k), P(h ª k) und P(h º k) auch aus den Tabellen auf den Seiten 264– 266 abgelesen werden. 11 . 36 In einem Behälter sind 500 Kugeln, von denen 25 weiß sind. Es werden 10 Kugeln blind gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, zwei weiße Kugeln zu erhalten, wenn a) mit Zurücklegen, b) ohne Zurücklegen gezogen wird! kompakt seite 228 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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