218 11 Die Binomialvertei lung und wei tere vertei lungen Wir betrachten nun allgemein ein aus zwei Sektoren bestehendes Glücksrad, bei dem ein Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit p und ein Nichterfolg mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p eintritt. Das Glücksrad wird n-mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei genau k Erfolge zu erhalten? Das Bernoulli-Experiment besteht im n-maligen Drehen des Glücksrads unter gleichen Bedingungen. Wir stellen den Anfangsverlauf dieses Bernoulli-Experiments durch das nebenstehende Baumdiagramm dar. Jeder Ausgang des Bernoulli-Experiments, der k Erfolge enthält, entspricht einem von der Spitze ausgehenden Weg, der aus n Strecken besteht und in dem das Ereignis E genau k-mal auftritt. Jeder Ausgang des Bernoulli-Experiments, der k Erfolge enthält, tritt nach der Multiplikationsregel für Versuchsausgänge mit der Wahrscheinlichkeit p k· (1 – p) n – kein. Jeder Ausgang des Bernoulli-Experiments, der k Erfolge enthält, entspricht einem aus den Symbolen E und ¬E gebildeten Wort der Länge n, in dem E genau k-mal vorkommt. Da es genau 2 n k 3solche Wörter gibt, gibt es genau 2 n k 3· p k· (1 – p) n – kVersuchsausgänge, in denen ein Erfolg genau k-mal vorkommt. Also gilt: P(h = k) = 2 n k 3· p k· (1 – p) n – k. Da man anstelle des Ereignispaares „Erfolg und Nichterfolg“ jedes beliebige Ereignispaar „E und ¬E“ nehmen kann, haben wir durch unsere Überlegungen bewiesen: satz Wird ein Zufallsversuch n-mal unter gleichen Bedingungen durchgeführt und tritt dabei ein Ereignis E jedes Mal mit der Wahrscheinlichkeit p ein, dann gilt für die absolute häufigkeit h des Eintretens von E: P(H = k) = ( n k )· p k· (1 – p) n – k (für 0 ª k ª n) Mit hilfe dieser Formel kann man für jeden Wert k der Zufallsvariablen h die Wahrscheinlichkeit P(h = k) berechnen. Dadurch ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von h festgelegt, die man beispielsweise durch eine Tabelle oder ein Stabdiagramm darstellen kann. Definition (Binomialverteilung) Sei h eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten 0, 1, 2, …, n. Wird jedem Wert k die Wahrscheinlichkeit P(H = k) = ( n k )· p k· (1 – p) n – k (mit 0 ª k ª n und 0 ª p ª 1) zugeordnet, dann bezeichnet man die dadurch festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung als Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Die Zufallsvariable h nennt man binomialverteilt mit den Parametern n und p. Unter Benutzung dieser Definition folgt aus dem obigen Satz die Merkregel: Merke: Wird ein Zufallsversuch n-mal unter gleichen Bedingungen durchgeführt und tritt dabei ein Ereignis E jedes Mal mit der Wahrscheinlichkeit p ein, dann ist die absolute häufigkeit h des Eintretens von E binomialverteilt mit den Parametern n und p. e ¬ e e ¬ e e ¬ e e ¬ e e ¬ e ... ... e ¬ e e ¬ e p 1 – p p 1 – p p 1 – p p 1 – p p 1 – p p 1 – p p 1 – p Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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