217 11 . 2 Die Binomialvertei lung 11 . 2 Die Binomialverteilung Bernoulli-Ketten Wir betrachten ein Glücksrad, das in ein rotes und ein blaues Feld geteilt ist. Bleibt der Zeiger im roten Feld stehen, sprechen wir von einem Erfolg (E), andernfalls von einem Nichterfolg (¬E). Das Glücksrad wird n-mal gedreht. Die absolute häufigkeit h der Erfolge bei den n Drehungen kann die Werte h = 0, 1, 2, …, n annehmen. Vor der Durchführung der n Drehungen kann man nicht mit Sicherheit sagen, welcher Wert von h sich ergeben wird. Wir fassen die Erfolgshäufigkeit h als Zufallsvariable auf, die die Werte 0, 1, 2, …, n annehmen kann und fragen: Mit welchen Wahrscheinlichkeiten werden diese Werte auftreten? 11 . 33 Wir nehmen an, dass in dem oben abgebildeten Glücksrad ein Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit 5 _ 12 und ein Nichterfolg mit der Wahrscheinlichkeit 7 _ 12eintritt. Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Erfolgshäufigkeit h die Werte 0, 1, 2 annimmt! Stelle die Ergebnisse durch eine Tabelle und ein Stabdiagramm dar! lösung: Wir zeichnen das nebenstehende Baumdiagramm. Diesem entnehmen wir: P(h = 0) = 7 _ 12 · 7 _ 12 ≈ 0,34 P(h = 1) = 5 _ 12 · 7 _ 12 + 7 _ 12 · 5 _ 12 ≈ 0,49 P(h = 2) = 5 _ 12 · 5 _ 12 ≈ 0,17 Tabelle: Stabdiagramm: k 0 1 2 P(H = k) 0,34 0,49 0,17 Definition Die n-malige Wiederholung eines Zufallsversuchs bezeichnet man als n-stufige Bernoulli-Kette (bzw. n-stufiges Bernoulli-experiment), wenn gilt: Jeder Einzelversuch besitzt genau zwei versuchsausgänge (zB. Erfolg und Nichterfolg). Jeder Einzelversuch wird unter gleichen Bedingungen durchgeführt (was insbesondere bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg nicht ändert). Das oben beschriebene n-malige Drehen eines Glücksrads ist eine Bernoulli-Kette. Der Name geht zurück auf den Mathematiker Jakob Bernoulli, der sich mit derartigen Wiederholungen eines Zufallsversuchs eingehend beschäftigt hat. R E ¬ E e ¬ e e ¬ e e ¬ e 5 12 5 12 7 12 7 12 5 12 7 12 k P (h = k) 0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1 2 Jakob Bernoulli (1654 –1705) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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