216 11 Die Binomialvertei lung und wei tere vertei lungen Man kann die Binomialkoeffizienten in Form eines Dreiecks anordnen, das man Pascal’sches Dreieck nennt (nach Blaise Pascal, 1623–1662): 2 1 0 3 2 1 1 3 1 1 2 2 0 3 2 2 1 3 2 2 2 3 1 2 1 2 3 0 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 3 3 1 3 3 1 2 4 0 3 2 4 1 3 2 4 2 3 2 4 3 3 2 4 4 3 1 4 6 4 1 … … In diesem Dreieck spiegeln sich die Eigenschaften des letzten Satzes wider: Wegen 2 n 0 3= 2 n n 3= 1 steht am linken und am rechten Rand stets 1. Wegen 2 n k 3= 2 n n – k 3ist in jeder Zeile die erste Zahl gleich der letzten, die zweite Zahl gleich der vorletzten, usw. Die Binomialkoeffizienten sind also in jeder Zeile symmetrisch angeordnet. Wegen 2 n k 3= 2 n – 1 k – 1 3+ 2 n – 1 k 3erhält man jede Zahl durch Addition der beiden unmittelbar darüber stehenden Zahlen. Im obigen Dreieck ist dies für 2 4 2 3= 2 3 1 3+ 2 3 2 3eingezeichnet. Auf diese Weise kann das Pascal’sche Dreieck beliebig weit fortgesetzt werden. satz (Binomiallehrsatz bzw. Binomischer lehrsatz): Für alle a, b * ℝ und alle n * ℕ* gilt: (a + b) n= 2 n 0 3 a nb 0+ 2 n 1 3 a n – 1 b 1+ 2 n 2 3 a n – 2 b 2+ … + 2 n n 3 a 0 b n Beweis : (a + b)n = (a + b) · (a + b) ·…· (a + b) 122222222222222223222222222222222245 n Klammerausdrücke Multipliziert man die Klammern miteinander aus, erhält man eine Summe von Ausdrücken der Form ak · bn – k. Jeder Summand ak · bn – k entsteht dadurch, dass man a aus k Klammern, b aus den restlichen n – k Klammern auswählt und die ausgewählten Elemente miteinander multipliziert. Jeder Summand entspricht somit einem Wort, das aus den Buchstaben a und b gebildet wird und in dem a genau k-mal vorkommt. Das es 2 n k 3Wörter dieser Art gibt, kommt jeder Summand ak · bn – k genau 2 n k 3-mal vor. Für n = 2 und n = 3 ergeben sich aus dem Binomiallehrsatz bekannte Formeln: (a + b)2 = 2 2 0 3· a 2 b0 + 2 2 1 3· a 1 b1 + 2 2 2 3· a 0 b2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = 2 3 0 3· a 3 b0 + 2 3 1 3· a 2 b1 + 2 3 2 3· a 1 b2 + 2 3 3 3· a 0 b3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Aufgaben 11 . 31 Erweitere das Pascal’sche Dreieck um drei zusätzliche Zeilen! 11 . 32 Beweise für n * N*: 2 n 0 3+ 2 n 1 3+ … + 2 n n 3= 2 n Hinweis : Wähle im Binomiallehrsatz spezielle Werte für a und b! Blaise Pascal (1623 –1662) R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=